第4問
次の をうめよ。
(1) 1から10までの数が書かれたカードが1枚ずつ計10枚ある。この中から
同時に4枚を取り出すとき、それらに書かれている数について、最大の数
が6である確率は ① であり、また、最大の数が9以上で、かつ最小の
数が2以下である確率は ② である。
(2) 四角錐OABCDは、底面ABCDが1辺の長さ1の正方形であり、OA=OB=
OC=OD=1である。内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の値は ③ である。また、辺OAの中点
をMとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MC}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ （0≦$\small\sf{\theta}$ ≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）とすると、cos$\small\sf{\theta}$ の値は ④
である。
(3) 実数x、yはx≧10、y≧1、xy2=105を満たしているとする。Y=log10yとおく
とき、Yのとり得る値の範囲は ⑤ である。また、log10x・log10yが最大
となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{y}\end{align*}}$ の値は ⑥ である。
(4) Oを原点とする複素数平面上で、2つの複素数z1=1+2i、z2=-1+3iの表す
点をそれぞれP、Qとする。このとき、偏角arg $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2}{z_1}\end{align*}}$ = ⑦ である。ただし、
偏角の範囲は0以上2$\small\sf{\pi}$ 未満とする。また、直線OQに関して、点Pと対称な
点Rを表す複素数は ⑧ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{21}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{42}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2\sqrt5}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq Y\leqq 2\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10^{\frac{5}{4}}\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ⑧ -2+i
【解説】
①
カードの取り出し方の総数は10C4通り。
6のカード以外に、1～5のカードから3枚取り出せばよいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_5C_3}{_{10}C_4}=\underline{\sf \frac{1}{21}}\end{align*}}$
②
最大の数をM、最小の数をmとする。
・M=10、m=1のとき
2～9のカードから残り2枚を取り出せばよいので8C2通り
・M=10、m=2のとき
3～9のカードから残り2枚を取り出せばよいので7C2通り
・M=9、m=1のとき
2～8のカードから残り2枚を取り出せばよいので7C2通り
・M=9、m=2のとき
3～8のカードから残り2枚を取り出せばよいので6C2通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_8C_2+_7C_2+_7C_2+_6C_2}{_{10}C_4}=\underline{\sf \frac{17}{42}}\end{align*}}$
③
△OABは1辺の長さが1の正三角形なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=1\cdot 1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\underline{\sf \frac{1}{2}}\end{align*}}$
④
OA=OB=1、 AC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ より、∠AOC=90°なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf MC}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OA}\right)= \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MC}|^2=\left|\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OA}\right|^2= |\overrightarrow{\sf OC}|^2-t\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{\sf OA}|^2=\frac{5}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf MC}}{|\overrightarrow{\sf OB}||\overrightarrow{\sf MC}|}=\frac{\frac{1}{4}}{1\cdot\sqrt{\frac{5}{4}}}=\underline{\sf \frac{1}{2\sqrt5}}\end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf xy^2=10\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{10^5}{y^2}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
これとx≧10より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10^5}{y^2}\geqq 10\ \ \Leftrightarrow\ \ y^2\leqq 10^4\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1\leqq \right)\ y\leqq 10^2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}1\leqq \log_{10}y\leqq \log_{10}10^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\leqq Y\leqq 2}\end{align*}}$
⑥
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}x\cdot\log_{10}y&=\sf \log_{10}\frac{10^5}{y^2}\cdot\log_{10}y\\ &=\sf \left(\log_{10}10^5-\log_{10}y^2\right)\cdot\log_{10}y\\ &=\sf \left(5-2Y\right)Y\\ &=\sf -2Y^2+5Y\\ &=\sf -2\left(Y-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{8} \end{align*}}$
これが最大になるのは⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\log_{10}y=\frac{5}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=10^{\frac{5}{4}}\end{align*}}$
のときである。このとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{y}=\frac{10^5}{y^3}=\frac{10^5}{\left(10^{\frac{5}{4}}\right)^3}=\underline{\sf 10^{\frac{5}{4}}}\end{align*}}$
⑦
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2}{z_1}=\frac{-1+3i}{1+2i}=\frac{\left(-1+3i\right)\left(1-2i\right)}{\left(1+2i\right)\left(1-2i\right)}=1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf arg\frac{z_2}{z_1}=\underline{\sf \frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
⑧
RはOを中心にPを90°回転させた点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+2i\right)\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=\left(1+2i\right)i=\underline{\sf -2+i}\end{align*}}$
例年通りといった感じですかね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 02:08:00|
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