2016関西大 理系（2月5日） 数学３

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【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt3}{4}\end{align*}}$　　　⑤ (0，1)

　　⑥ x+1　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}-\frac{3}{8}\pi\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　①②
　　　xを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\cos\theta+\left(1+\cos\theta\right)\cdot\left(-\sin\theta\right)=-\sin\theta\left(1+2\cos\theta\right)\end{align*}}$
　　　となるので、xの増減は次のようになる。

$\scriptsize\sf{\theta}$	0	・・・	$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$	・・・	$\scriptsize\sf{\pi}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}\end{align*}}$	0	・・・	0	・・・	0
x	2	↘	$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$	↗	0

　　　よって、xの最小値は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x_{min}=-\frac{1}{4}\ \ \ \left(\theta=\frac{2}{3}\pi\right)}\end{align*}}$

　③④
　　　yを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}&=\sf -\sin\theta\sin\theta+\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta\\ &=\sf -\left(1-\cos^2\theta\right)+\cos\theta+\cos^2\theta\\ &=\sf 2\cos^2\theta+\cos\theta-1\\ &=\sf \left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)\end{align*}}$
　　　となるので、yの増減は次のようになる。

$\scriptsize\sf{\theta}$	0	・・・	$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$	・・・	$\scriptsize\sf{\pi}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{d\theta}\end{align*}}$		・・・	0	・・・	0
y	0	↗	$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt3}{4}\end{align*}}$	↘	0

　　　よって、yの最大値は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y_{max}=\frac{3\sqrt3}{4}\ \ \ \left(\theta=\frac{\pi}{3}\right)}\end{align*}}$

　⑤
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2&=\sf \bigg\{\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta-1\bigg\}^2+\bigg\{\left(1+\cos\theta\right)\sin\theta\bigg\}^2\end{align*}}$
　　　であり、頑張って計算すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=2-\cos^2\theta\end{align*}}$
　　　になるので、これが最大になるのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　のときである。このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\left(1+\cos\frac{\pi}{2}\right)\cos\frac{\pi}{2}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(1+\cos\frac{\pi}{2}\right)\sin\frac{\pi}{2}=1\end{align*}}$
　　　なので、点Pの座標は(0，1)である。

　⑥
　　　点Pにおける接線の傾きは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\frac{-\sin\frac{\pi}{2}\left(1+2\cos\frac{\pi}{2}\right)}{\left(2\cos\frac{\pi}{2}-1\right)\left(\cos\frac{\pi}{2}+1\right)}=1\end{align*}}$
　　　なので、接線の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=x+1}\end{align*}}$

　⑦
　　　⑥の接線とx軸、曲線Cで囲まれた図形は下図の水色部分。
　　　赤色部分の面積は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\left(-x\right)dy&=\sf -\int_{\pi}^{\pi /2}\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta\cdot\left(\cos\theta+1\right)\left(2\cos\theta-1\right)d\theta\\ &=\sf \int_{\pi /2}^{\pi}\left(2\cos^4\theta+3\cos^3\theta-\cos\theta\right)d\theta\\ &=\sf \int_{\pi /2}^{\pi}\left\{2\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^2+3\cdot\frac{\cos 3\theta+3\cos\theta}{4}-\cos\theta\right\}d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\int_{\pi /2}^{\pi}\left(2\cos^22\theta+3\cos 3\theta+4\cos 2\theta+5\cos\theta+2\right)d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\int_{\pi /2}^{\pi}\bigg\{\left(1+\cos 4\theta\right)+3\cos 3\theta+4\cos 2\theta+5\cos\theta+2\bigg\}d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{4}\sin 4\theta+\sin3\theta+2\sin2\theta+5\sin\theta+3\theta\bigg]_{\pi /2}^{\pi} \\ &=\sf \frac{3}{8}\pi-1\end{align*}}$
　　　なので、水色部分の面積は、三角形から赤色部分を引けばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-\left(\frac{3}{8}\pi-1\right)=\underline{\sf \frac{3}{2}-\frac{3}{8}\pi}\end{align*}}$

　　　　　　



　　⑦は計算が面倒なので捨てましょうｗｗｗ