第2問
数列{an}の第1項から第n項までの和Snと一般項anが
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=16-\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
を満たしている。次の をうめよ。
(1) a2= ① である。
(2) an+1をanとnを用いて表すと、an+1= ② anである。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{n}=b_n\end{align*}}$ とおくと、bn+1= ③ bnである。
したがって、anはnを用いて、an= ④ である。
(3) 数列{an}の項のうち、最大値は ⑤ である。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\end{align*}}$ ⑥ である。ただし、|r|＜1のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot r^n=0\end{align*}}$
を用いてよい。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\left(n+1\right)}{4n}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{27}{16}\end{align*}}$ ⑥ 16
【解説】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=16-\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=a_1=16-15a_1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_1=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=a_1+a_2=16-9a_2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\frac{16-a_1}{10}=\underline{\ \frac{3}{2}} \end{align*}}$
②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=\left\{16-\frac{3\left(n+5\right)}{n+1}\ a_{n+1}\right\}-\left\{16-\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{1+\frac{3\left(n+5\right)}{n+1}\right\} a_{n+1}=\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4n+16}{n+1}\ a_{n+1}=\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=\frac{n+1}{4n+16}\cdot\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n=\underline{\ \frac{3\left(n+1\right)}{4n}\ a_n}\end{align*}}$
③
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)}{4n}\ a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{a_n}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=\underline{\ \frac{3}{4}\ b_n}\end{align*}}$
④
③より、数列{bn}は、初項が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=\frac{a_1}{1}=1\end{align*}}$
の等比数列なので、その一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=nb_n=\underline{\ n\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
⑤
④より、任意のnに対してan＞0が成り立つ。
よって、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}\lt a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3\left(n+1\right)}{4n}\ a_n\lt a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\left(n+1\right)<4n\ \ \Leftrightarrow\ \ n>3\end{align*}}$
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ n=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}>a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ (1\leqq )\ n<3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1\lt a_2\lt a_3=a_4>a_5>a_6>\ldots\end{align*}}$ ．
よって、anの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=a_4=3\times\left(\frac{3}{4}\right)^2=\underline{\ \frac{27}{16}}\end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=1+2\cdot\frac{3}{4}+3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2+\ldots +n\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}S_n=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^2+\ldots +(n-1)\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}+n\left(\frac{3}{4}\right)^n\end{align*}}$
これら2式の差をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}S_n&=\sf 1+\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2+\ldots +\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}-n\left(\frac{3}{4}\right)^n\\ &=\sf \frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n}{1-\frac{3}{4}}-n\left(\frac{3}{4}\right)^n\\ &=\sf 4\left\{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n\right\}-n\left(\frac{3}{4}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=16\left\{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n\right\}-4n\left(\frac{3}{4}\right)^n\end{align*}}$
を得る。ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=0\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{3}{4}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\underline{\ 16}\end{align*}}$
(3)が突然の話なので、難しかったかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 02:06:00|
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