第1問
関数f(x)はすべての実数xで微分可能であり、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf e^xf\ (x)=e^{2x}+\int_0^xe^tf\ (t)\ dt\end{align*}}$
を満たしている。ただし、eは自然対数の底である。
次の問いに答えよ。
(1) f(0)の値を求めよ。
(2) f’(x)を求めよ。また、f(x)を求めよ。
(3) y=f(x)のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ。
ただし、曲線の凹凸は調べなくてよい。
(4) y=f(x)のグラフとx軸、y軸で囲まれた図形を、y軸のまわりに
回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\log x\ dx=x\log x-x+C\end{align*}}$ （Cは積分定数）
を用いてよい。
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【解説】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^xf\ (x)=e^{2x}+\int_0^xe^tf\ (t)\ dt\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(1)
(#)にx=0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^0f\ (0)=e^{0}+\int_0^0e^tf\ (t)\ dt\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (0)=\underline{\sf 1}\end{align*}}$
(2)
(#)の両辺をxで微分すると、ex≠0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^xf\ (x)+e^xf\ '(x)=2e^{2x}+e^xf\ (x)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^xf\ '(x)=2e^{2x}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf f\ '(x)=\underline{\sf 2e^x}\end{align*}}$
両辺をxで積分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int 2e^xdx=2e^x+C\end{align*}}$ （Cは積分定数）
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=2e^0+C=1\ \ \Leftrightarrow\ \ C=-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\underline{\sf 2e^x-1}\end{align*}}$
(3)
(2)より、f’(x)＞0なので、f(x)は単調増加関数であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}f\ (x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(2e^x-1\right)=+\infty\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}f\ (x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2e^x-1\right)=-1\end{align*}}$
なので、y=f(x)のグラフの概形は次のようになる。
(4)
求める回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2e^x-1\ \ \Leftrightarrow\ \ e^x=\frac{y+1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\log\frac{y+1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^1x^2dy=\pi\int_0^1\left(\log\frac{y+1}{2}\right)^2dy\end{align*}}$
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{y+1}{2}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dy}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\log t\right)^2\cdot 2dt\\ &=\sf 2\pi\bigg[t\left(\log t\right)^2\bigg]_{\frac{1}{2}}^1-2\pi\int_{\frac{1}{2}}^1t\cdot 2\log t\cdot\frac{1}{t}\ dt\\ &=\sf -\left(\log\frac{1}{2}\right)^2\pi-4\pi\bigg[t\log t-t\bigg]_{\frac{1}{2}}^1\\ &=\sf \underline{\sf \bigg\{2-\left(\log 2\right)^2-2\log 2\bigg\}\pi}\end{align*}}$
(4)は、そのままでも出来ますが、置換した方が何かと安全ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2016（2/5）
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