ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{12}\end{align*}}$ ヨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$ リ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\end{align*}}$ ル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\end{align*}}$
レ 1 ロ n-1 ワ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$
【解説】
ユ
1回目の目の数をx、2回目の目の数をyとおくと、
x、By目の出方の総数は62=36通り。
そのうち
x=yとなるのは6通り
残りのx≠yとなる30通りのうち、
x＞yとなるものとx＜yとなるものはそれぞれ15通りずつあるので、
x≦yとなる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6+15}{36}=\underline{\sf \frac{7}{12}}\end{align*}}$
ヨ
x≦yとなる事象をA、yがxで割り切れるという事象をBとおくと
A∩Bとなるx、yの組は、
(x，y)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)
(2，2)、(2，4)、(2，6)、(3，3)、(3，6)
(4，4)、(5，5)、(6，6)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{14}{36}}{\frac{7}{12}}=\underline{\sf \frac{2}{3}}\end{align*}}$
ラ
1～n-1回目に1以外の目が出て、n回目に1の目が出ればよいので、
その確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
リ
余事象は、n回とも1以外の目が出ることなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}\end{align*}}$
ル
k回目に初めて1が出て、n回目に初めて6が出る場合
1～k-1回目は1、6以外の目
k回目は1の目
k+1～n-1回目は6以外の目
n回目は6の目
のように出ればよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^{k-1}\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k-1}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\end{align*}}$
k回目に初めて6が出て、n回目に初めて1が出る場合も同様なので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}}\end{align*}}$
ワ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}&=\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\\ &=\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\cdot\frac{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}}{1-\frac{4}{5}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}}\end{align*}}$
これはそれほど難しくありません。
