2010同志社大 理系（全学部日程） １（２）

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【解答】

　(2)
　　　半角公式を用いて、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}}\ \{1-\cos(2\pi y)\}\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\ y-\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi y)\right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}\sin(\pi)\right)-(0-0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\end{align*}}$　･･････エ

　　　次に、ｆ(y)=Aｅ^2y+B より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy=\int_0^1\ \left(A\ e^{y}+B\ e^{-y}\right)\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ A\ e^{y}-B\ e^{-y}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(A\ e-B\ e^{-1})-(A-B)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(e-1)\ A+\frac{e-1}{e}\ B\end{align*}}$　･･････オカ

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy=\int_0^{\frac{1}{2}}\ \left(A\ e^{2y}+B\right)\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ \frac{A}{2}\ e^{2y}-B\ y\ \right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\ \frac{A}{2}\ e-\frac{B}{2}\ \right)-\left(\frac{A}{2}-0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B\end{align*}}$　･･････キク

　　　これらを与式に代入すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ e^{2x}+B=\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\left((e-1)\ A+\frac{e-1}{e}\ B \right)+\left(\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B\right)+\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ A\ e^{2x}+B=\left(\frac{1}{2}\ A+\frac{1}{2e}\ B \right)\ e^{2x}+\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B+\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　係数を比較すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\ A+\frac{1}{2e}\ B \end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B+\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ B=\frac{e}{2}\ \ }\end{align*}}$　･･････ケコ


　　誘導に乗ってそのまま計算しましょう。
　　しかしまぁ、なんとも深みのない問題ですねぇ＾＾；；