ア 1　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n-1\right)\sin^{n-2}x\cos x\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n-1\right)\sin^{n-2}x-n\sin ^nx\end{align*}}$　

　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{n}\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{16}\pi\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n}=b_{n-1}\end{align*}}$

　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{n+1}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
　

【解説】

　ア
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\int_0^{\pi /2}\sin x\ dx=\bigg[-\cos x\bigg]_0^{\pi /2}=\underline{\sf 1}\end{align*}}$

　イ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin^{n-1}x\right)'=\left(n-1\right)\sin^{n-2}x\cdot\left(\sin x\right)'=\underline{\sf \left(n-1\right)\sin^{n-2}x\cos x}\end{align*}}$

　ウ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'&=\sf -\sin x\cdot\sin^{n-1}x+\cos x\cdot\left(n-1\right)\sin^{n-2}x\cdot x\\ &=\sf -\sin^nx+\left(n-1\right)\left(1-\sin^2x\right)\sin^{n-2}x\\ &=\sf \underline{\sf \left(n-1\right)\sin^{n-2}x-n\sin^nx}\end{align*}}$

　エ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'dx=\int_0^{\pi /2}\bigg\{\left(n-1\right)\sin^{n-2}x-n\sin^nx\bigg\}dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg[\cos x\sin^{n-1}x\bigg]_0^{\pi /2}=\left(n-1\right)\int_0^{\pi /2}\sin^{n-2}x\ dx-n\int_0^{\pi /2}\sin^nx\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0=\left(n-1\right)a_{n-2}-na_n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\sf \frac{n-1}{n}\ a_{n-2}}\end{align*}}$

　オ、カ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ a_0=\frac{\pi}{4}\ \ ,\ \ a_3=\frac{2}{3}\ a_1=\underline{\sf \frac{2}{3}}\ \ ,\ \ a_4=\frac{3}{4}\ a_2=\underline{\sf \frac{3}{16}\pi}\end{align*}}$

　キ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_na_{n-1}=\frac{n-1}{n}a_{n-1}a_{n-2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf na_{n-1}a_n=\left(n-1\right)a_{n-2}a_{n-1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf b_n=b_{n-1}}\end{align*}}$

　ク
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1=1\cdot a_0a_1=\underline{\sf \frac{\pi}{2}}\end{align*}}$

　ケ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}\leqq a_n\leqq a_{n-1}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf na_{n}a_{n+1}\leqq a_{n}^{\ 2}\leqq na_{n-1}a_{n}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf \frac{n}{n+1}\ b_{n+1}\leqq na_n^{\ 2}\leqq b_n} \end{align*}}$

　コ
　　　ク、ケより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{n+1}\cdot\frac{\pi}{2}\leqq na_n^{\ 2}\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}na_n^{\ 2}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\ a_n=\underline{\sf \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \ (>0)}\end{align*}}$




　　エさえクリアできれば最後までたどり着きそうです。