ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{21}}{2}\end{align*}}$　　　　エ -1　　　オ 2

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{21}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2}\end{align*}}$　　　　ク 0　　　　ケ 4:3　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{7}\sqrt6\end{align*}}$

　

【解説】

　ア
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\underline{\sf \sqrt6}\end{align*}}$

　イ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=\sqrt{1^2+0+2^2}=\sqrt5\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|=\sqrt{2^21^2+0}=\sqrt5\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2+0+0=2\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOB=\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OA}||\overrightarrow{\sf OB}|}=\frac{2}{\sqrt5\cdot \sqrt5}=\underline{\sf \frac{2}{5}}\end{align*}}$

　ウ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OA}|^2|\overrightarrow{\sf OB}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 5-2^2}=\underline{\sf \frac{\sqrt{21}}{2}}\end{align*}}$

　エオ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}&=\sf \overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf \left(s+2t-1\ ,\ t-6\ ,\ 2s+1\right)\end{align*}}$
　　　であり、平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⊥CHなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\bot\overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=s+2t-1+2\left(2s+1\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\bot\overrightarrow{\sf OB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2\left(s+2t-1\right)+t-6=0\end{align*}}$
　　　これら2式を連立させて解くと、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf s=-1\ ,\ t=2}\end{align*}}$

　カ
　　　このとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=\left(2\ ,\ -4\ ,\ -1\right)\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|=\sqrt{2^2+\left(-4\right)^2+\left(-1\right)^2}=\underline{\sf \sqrt{21}}\end{align*}}$

　キ
　　　ウとキより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{21}}2{\cdot\sqrt{21}=}\underline{\sf \frac{7}{2}}\end{align*}}$

　ク
　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ //$\scriptsize\sf{\beta}$ と$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⊥CHより、CH⊥$\scriptsize\sf{\beta}$ なので、CH⊥DEである。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf DE}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$


　ケ
　　　CE：HE=k：1-kとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}= \overrightarrow{\sf OC}+k\overrightarrow{\sf CH}=\left(2k+1 , -4k+6 , -k-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}= \overrightarrow{\sf OE}-\overrightarrow{\sf OD}=\left(2k-1 , -4k+3 , -k-2\right)\end{align*}}$
　　　一方、DE//$\scriptsize\sf{\alpha}$ より、実数u、vを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}=u\overrightarrow{\sf OA}+v\overrightarrow{\sf OB}=\left(u+2v,v,2u\right)\end{align*}}$
　　　とも表すことができる。
　　　これら2式の成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2k-1=u+2v\ ,\ -4k+3=v\ ,\ -k-2=2u\end{align*}}$
　　　となり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{4}{7}\end{align*}}$
　　　になるので、EはCHを4：7の比に内分する点である。


　コ
　　　平面$\scriptsize\sf{\beta}$ と辺CA、CBとの交点をそれぞれF、Gとおくと、
　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ //$\scriptsize\sf{\beta}$ より、AB//FGとなる。
　　　よって、△CAB∽△CFGであり、相似比はCH：CEに等しいので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf FG=\frac{4}{7}\ AB=\underline{\sf \frac{4}{7}\sqrt6}\end{align*}}$




　　キまでは問題ないと思います。
　　頑張ってケを解きましょう！