① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3\pi}{4}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq \frac{9}{4}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\lt a<\frac{9}{4}\end{align*}}$　　　　④ 957　　　⑤ 4

　　⑥ 8e-16　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\end{align*}}$　　　　
　

【解説】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2\ ,\ -3\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan A=-2\ ,\ \tan B=-3\end{align*}}$ とすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |A|<\frac{\pi}{2}\ ,\ |B|<\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt A<0\ ,\ -\frac{\pi}{2}\lt B<0\ \ \Rightarrow\ \ -\pi \lt A+B<0\end{align*}}$　　・・・・・・(#)
　　　加法定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\left(A+B\right)&=\sf \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\ \tan B}\\ &=\sf \frac{-2-3}{1-\left(-2\right)\cdot\left(-3\right)}\\ &=\sf 1\end{align*}}$
　　　となるので、(#)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+B=\underline{\sf -\frac{3}{4}\pi}\end{align*}}$


　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{x+2}\ \ ,\ \ C_2\ y=x+a\end{align*}}$

　　　2式を連立させると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x+2}=x+a\end{align*}}$
　　　両辺を2乗すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+2=x^2+2ax+a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(2a-1\right)x+a^2-2=0\end{align*}}$ 　・・・・・・(*)
　　　C₁とC₂が接するとき、(*)が重解をもつので、
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(2a-1\right)^2-4\left(a^2-2\right)=-4a+9=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　C₁とC₂が共有点をもつようなaの値の範囲は、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a\leqq \frac{9}{4}}\end{align*}}$　　　　・・・・・・②
　　　一方、C₂がC₁の頂点(-2，0)を通るのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-2+a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\end{align*}}$
　　　の時なので、共有点の数が2個でかつ、その共有点のy座標がともに
　　　正であるとき、aの値の範囲は
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 2\lt a<\frac{9}{4}}\end{align*}}$　　　・・・・・・③


　(3)
　　　求める数をnとおくと、自然数a、bを用いて
　　　　　　　　n=6a+3=17b+5
　　　と表すことができる。17=3×6-1より
　　　　　　　　6a+3=17b+5　　⇔　　6a+3=(3×6-1)b+5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　　b=6(3b-a)+2
　　　と変形できるので、bは6で割って2余る数である。
　　　一方、nは3桁の自然数なので
　　　　　　　　100≦17b+5≦999　　⇔　　5.…≦b≦58.…
　　　なので、条件を満たす最大のbは、b=56である。
　　　このとき、
　　　　　　　　n=17×56+5=957


　(4)
　　　部分積分法を用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx&=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\log \sf x\bigg]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}2\sqrt{\sf x}\cdot\frac{1}{x}\ dx \\ &=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\log \sf x-4\sqrt{\sf x}\bigg]_1^{e^2}\\ &=\sf \underline{\sf 4}\end{align*}}$　
　　　この結果を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\log x\right)^2 dx&=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\left(\log x\right)^2\bigg]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}2\sqrt{\sf x}\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx \\ &=\sf 8e-4\int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx\\ &=\sf \underline{\sf 8e-16}\end{align*}}$　　　


　(5)
　　　等差数列の公差をdとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+d\left(n-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ d=\frac{a_n-a_1}{n-1}=\frac{b-a}{n-1}\end{align*}}$
　　　これより
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}&=\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{a_{k+1}-a_k}\\ &=\sf \frac{1}{d}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}\right)\\ &=\sf \frac{1}{d}\bigg\{\left(\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}\right)+\left(\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}\right)+\ldots +\left(\sqrt{a_{kn}}-\sqrt{a_{n-1}}\right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{d}\left(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}\right)\\ &=\sf \frac{n-1}{b-a}\cdot\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\end{align*}}$




　　ここの小問集合は例年どうりの感じですね。