2016関西大 理系（2月2日） 数学3

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【解答】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '(x)&=\sf \left(2n-1\right)x^{2n-2}e^{-x^{2n}}+x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\cdot\left(-2nx^{2n-1}\right)\\ &=\sf \left\{\left(2n-1\right)x^{2n-2}-2nx^{4n-2}\right\}e^{-x^{2n}}\\ &=\sf \underline{-x^{2n-2}\left\{2nx^{2n}-\left(2n-1\right)\right\}e^{-x^{2n}}}\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \pm\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n}}" alt="\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n}}" alt="\end{align*}}$
　　　とおくと、n≧2より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{2n}=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<p<1" alt="\end{align*}}$
　　　なので、増減表は次のようになる。

x	-2	･･･	-p	･･･	0	･･･	p	･･･	2
f’(x)		－	0	+	0	+	0	+
f(x)		↘	最小	↗	0	↗	最大	↘

　　　よって、f(x)の最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}&=\sf f\ (p)\\ &=\sf p^{2n-1}e^{-p^{2n}}\\ &=\sf \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}e^{-\frac{2n-1}{2n}}\\ &=\sf \underline{\ \left(\frac{2n-1}{2en}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{min}&=\sf f\ (-p)\\ &=\sf -f\ (p)\\ &=\sf \underline{\ -\left(\frac{2n-1}{2en}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}}\end{align*}}$


　(3)
　　　求める極限をLとし、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-x^{2n}\end{align*}}$
　　　と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-2nx^{2n-1}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -0^{\ 2n}=0" alt="\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a_n^{\ 2n}=-\left(n^{-\frac{1}{2n}}\right)^{2n}=-\frac{1}{n}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{a_n}x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\ dx\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{-\frac{1}{n}}x^{2n-1}e^{t}\cdot \frac{dt}{-2nx^{2n-1}}\\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_0^{-\frac{1}{n}}e^tdt \\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\bigg[\ e^t\ \bigg]_0^{-\frac{1}{n}}\\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(\ e^{-\frac{1}{n}}-1\right)\end{align*}}$
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=-\frac{1}{n}" alt="\end{align*}}$ とおくと、n→+∞のときh→0であり、
　　　関数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=e^x" alt="\end{align*}}$ に対して、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=e^x\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf -\frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{h}\right)\left(e^h-1\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-e^0}{h-0}\\ &=\sf \frac{1}{2}\ g\ '(0)\\ &=\sf \underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$




　　例年の数Ⅲ微積と比べると難しいですね。