第2問
空間内で、原点Oと3点A、B、Cを頂点とする四面体OABCを考える。
三角形ABCの内心、すなわち3つの内角の2等分線の交点をIとし、直線
BIと辺ACとの交点をDとする。三角形ABCの各辺の長さをAB=p、BC=q
、CA=rとおく。このとき、∠ABD=∠CBDであるからベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ はp、qを
用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ = ① $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
と表される。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ の長さ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ はp、q、rを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ = ②
と表される。したがって、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AI}\end{align*}}$ はp、q、rを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AI}\end{align*}}$ = ③ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ + ④ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
と表される。また、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ は、p、q、rを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ = ⑤ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + ⑥ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + ⑦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表される。特に、A、B、Cの座標がA(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)
で与えられたとき、Iのx座標はa、b、cを用いて ⑧ と表される。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{p+q}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{pr}{p+q}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{p+q+r}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{p+q+r}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{q}{p+q+r}\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{p+q+r}\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{p+q+r}\end{align*}}$ ⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}\end{align*}}$
【解説】
①
∠ABD=∠CBDより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD:CD=AB:CB=p:q\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AD}=\underline{\sf \frac{p}{p+q}\ \overrightarrow{\sf AC}}\end{align*}}$
②
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|=\frac{p}{p+q}| \overrightarrow{\sf AC}|=\underline{\sf \frac{pr}{p+q}}\end{align*}}$
③④
∠BAI=∠DAIより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BI:DI=AB:AD=p:\frac{pr}{p+q}=\left(p+q\right):r\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AI}&=\sf \frac{r}{\left(p+q\right)+r}\ \overrightarrow{\sf AB}+\frac{p+q}{\left(p+q\right)+r}\ \overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{r}{p+q+r}\ \overrightarrow{\sf AB}+\frac{p}{p+q+r}\ \overrightarrow{\sf AC}}\end{align*}}$
⑤⑥⑦
③④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}-\overrightarrow{\sf OA}=\frac{r}{p+q+r}\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)+\frac{p}{p+q+r}\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OI}=\underline{\sf \frac{q}{p+q+r}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{r}{p+q+r}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{p}{p+q+r}\overrightarrow{\sf OA}}\end{align*}}$
⑧
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\sqrt{a^2+b^2}\ ,\ q=\sqrt{b^2+c^2}\ ,\ r=\sqrt{c^2+a^2}\end{align*}}$
なので、⑤～⑦より点Iのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{aq}{p+q+r}=\underline{\sf \frac{a\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}}\end{align*}}$
誘導のまんまです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 02:02:00|
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