第1問
p、qを実数とし、iを虚数単位とする。複素数平面上の点P(4+pi)は
点A(2i)と点B(2+3i)を通る直線上にある。また、点Q(q+qi)は線分
QAと線分QPが直交する位置にある。次の問いに答えよ。
(1) pおよびqの値を求めよ。
(2) |z-(q+qi)|=2|z-(4+pi)|を満たす複素数z全体の表す図形を求めよ。
(3) zが(2)で定められた図形上にあり、z、10+10i-zと3+3iの3点が
三角形を作るとき、その三角形の面積が最大となるzの値を求めよ。
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【解答】
(1)
点P(4+pi)が点A(2i)と点B(2+3i)を通る直線上にある
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \angle BAP=arg\frac{\left(4+pi\right)-2i}{\left(2+3i\right)-2i}=0^{\circ}\ or\ 180^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(4+pi\right)-2i}{\left(2+3i\right)-2i}\end{align*}}$ が実数
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(4+pi\right)-2i}{\left(2+3i\right)-2i}&=\sf \frac{4+\left(p-2\right)i}{2+i}\\ &=\sf \frac{\left\{4+\left(p-2\right)i\right\}\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}\\ &=\sf \frac{p+6+\left(2p-8\right)i}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p-8=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf p=4}\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle AQP=arg\frac{\left(4+pi\right)-\left(q+qi\right)}{2i-\left(q+qi\right)}=\pm 90^{\circ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(4+pi\right)-\left(q+qi\right)}{2i-\left(q+qi\right)}\end{align*}}$ が純虚数
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(4+pi\right)-\left(q+qi\right)}{2i-\left(q+qi\right)}&=\sf \frac{\left(q-4\right)+\left(q-4\right)i}{q+\left(q-2\right)i}\\ &=\sf \frac{\left\{\left(q-4\right)+\left(q-4\right)i\right\}\left\{q-\left(q-2\right)i\right\}}{\left\{q+\left(q-2\right)i\right\}\left\{q-\left(q-2\right)i\right\}}\\ &=\sf \frac{q^2-5q+4+\left(q-4\right)i}{q^2-2q+2}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^2-5q+4=0\ ,\ q-4\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf q=1}\end{align*}}$
(2)
Z(z)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z-\left(1+i\right)\right|=2\left|z-\left(4+4i\right)\right|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ZQ=2ZP\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ZP:ZQ=1:2 \end{align*}}$
線分PQを1：2に内分する点をC、1：2に外分する点をDとすると、
Zは線分CDを直径とする円周上を動く。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C\ldots\ldots\frac{2\left(4+4i\right)+\left(1+i\right)}{2+1}=3+3i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\ldots\ldots\frac{2\left(4+4i\right)-\left(1+i\right)}{2-1}=7+7i\end{align*}}$
より、中心が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(3+3i\right)+\left(7+7i\right)}{2}=5+5i\end{align*}}$
で、半径が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\left(5+5i\right)-\left(3+3i\right)\right|=\left|2+2i\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\end{align*}}$
の円周上を動く。
よって、複素数z全体の表す図形は下図のようになる。
(3)
Z(z)、W(10+10i-z)、C(3+3i)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z+\left(10+10i-z\right)}{2}=5+5i\end{align*}}$
なので、2点Z、Wは、(2)で求めた円の中心(Eとする）について対称
な位置にある。
すなわち、線分ZWは(2)の円の直径となるので、三角CZWの面積が
最大になるのは、CE⊥ZWのときである。
このとき、三角CZWは直角二等辺三角形になるので、複素数zの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf z=3+7i\ ,\ 7+3i}\end{align*}}$
(3)は図形的な性質に気づかないと厳しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 02:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2016（2/2）
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