FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

3分の1公式・12分の1公式について



  先日の記事で紹介した積分の公式の証明について、
  yahoo!知恵袋の方で質問があがっていましたので、
  回答しておきます。
    http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/
  
   
 ① 「3分の1公式」の証明

   簡単のため、放物線 y=ax2 (a>0)を考える。
      y’=2ax図13
   より、放物線上の点(p,ap2)における接線Lは
         y-ap2=2ap(x-a)
       ⇔ y=2apx-ap2
   よって、求める面積は、
       $\small\sf{\begin{align*}\sf S=\int_p^q\ \left(ax^2-(2apx-ap^2)\right)\ dx\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf =a\int_p^q\ \left(x-p\right)^2\ dx\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf =a\ \left[\frac{1}{3}(x-p)^3\right]_p^q\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf =\frac{a}{3}(q-p)^3\end{align*}}$
   一般のy=ax2+bx+cについても、
   y=ax2を平行移動させるだけなので成り立つ。


    まぁ、そのまま計算するだけなので、証明というほど大したものでは
    ありませんが、(x-p)2と因数分解してから積分をすると、キレイに
    計算できます。 



  
   
 ② 「12分の1公式」の証明

   ここでも放物線 y=ax2 (a>0)で考える。
   点(p,ap2)、(q,aq2)(p≠q)における
   接線L、L’はそれぞれ
       L :y=2apx-ap2図15
       L':y=2aqx-aq2
   まず、これらの交点を求める。
        2apx-ap2=2aqx-aq2
      ⇔ 2a(p-q)x=a(p2-q2)
   a≠0、p≠qより、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{p+q}{2}\end{align*}}$

   求める部分を直線
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{p+q}{2}\end{align*}}$
   で2つに分割し、それぞれに①の3分の1公式を用いると、
   その面積は、
       $\small\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{a}{3}\left(\frac{p+q}{2}-p\right)^3+\frac{a}{3}\left(q-\frac{p+q}{2}\right)^3\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf =\frac{a}{3}\left(\frac{q-p}{2}\right)^3+\frac{a}{3}\left(\frac{q-p}{2}\right)^3\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf =\frac{a}{12}\left(q-p\right)^3\end{align*}}$

   一般のy=ax2+bx+cについても、
   y=ax2を平行移動させるだけなので成り立つ。


    こちらもそのまま計算するだけですが、3分の1公式を使えば楽に計算できます。 



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/05(金) 02:03:00|
  2. 補足・解説
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<2012和歌山県立医大 数学1 | ホーム | nのn乗根の極限について>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバック URL
http://aozemi.blog.fc2.com/tb.php/216-b79a09d5
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)