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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010福島県立医科大 数学3



第3問

  p、qは互いに素な自然数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) p、qがともに奇数であるとき、p4+q4は自然数の2乗にならない
    ことを示せ。

 (2) qは奇数とする。次の手順にしたがって(2p)4+q4が自然数の2乗
    にならないことを背理法を用いて示せ。
  (ⅰ) 次の仮定(H)が成り立つものとして、以下の問い(A)~(D)に答
     えよ。
       仮定(H):(2p)4+q4=r2となる自然数rが存在する。
   (A) 2pとrは互いに素になることを示せ。
   (B) 互いに素な自然数m、nがあって、r+(2p)2=m4、r-(2p)2=n4
      と表せることを示せ。
   (C) (B)のm、nについて、m+n=2a、m-n=2bとおく。p2をa、bを
      用いて表せ。
   (D) 2p1とq1が互いに素になり、p=2p1q1r1かつ(2p1)4+(q1)4=
      (r1)2となる自然数p1、q1、r1が存在することを示せ。

  (ⅱ) (ⅰ)の仮定(H)が成り立たないことを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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