第１問
(５) mを自然数とする。すべてのx＞0について
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_m+\int_0^xt^me^{3t}dt=\sum_{k=0}^ma_kx^{m-k}e^{3x}\end{align*}}$
を満たす数列ak（k=0，1，……，m）について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_m=\sum_{k=0}^m\frac{a_k}{k!}\end{align*}}$
の値をmで表せ。
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【解答】
(５)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_m+\int_0^xt^me^{3t}dt=\sum_{k=0}^ma_kx^{m-k}e^{3x}\end{align*}}$
の両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^me^{3x}=\sum_{k=0}^ma_k\bigg\{\left(m-k \right)x^{m-k-1}e^{3x}+3x^{m-k}e^{3x}\bigg\}\end{align*}}$
両辺をe3x （＞0）で割る
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^m&=\sf \sum_{k=0}^ma_k\bigg\{\left(m-k \right)x^{m-k-1}+3x^{m-k}\bigg\}\\ &=\sf \sum_{k=0}^ma_k\left(m-k \right)x^{m-k-1}+\sum_{k=0}^m3a_kx^{m-k}\\ &=\sf \left\{\sum_{k=0}^{m-1}a_k\left(m-k \right)x^{m-k-1}+0\right\}+\left(3a_0x^m+\sum_{k=1}^{m}3a_{k}x^{m-k}\right)\\ &=\sf 3a_0x^m+\sum_{k=1}^{m}a_{k-1}\left(m-k+1 \right)x^{m-k}+\sum_{k=1}^{m}3a_{k}x^{m-k}\\ &=\sf 3a_0x^m+\sum_{k=1}^{m}\bigg\{\left(m-k+1 \right)a_{k-1}+3a_{k}\bigg\}x^{m-k}\end{align*}}$
これが任意のx＞0に対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=3a_0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_0=\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(m-k+1 \right)a_{k-1}+3a_{k}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k}=-\frac{m-k+1}{3}\ a_{k-1}\ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,m \right)\end{align*}}$
が成り立つので、k=1，2，……，mに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k}&=\sf -\frac{m-k+1}{3}\ a_{k-1}\\ &=\sf -\frac{m-k+1}{3}\cdot \left(-\frac{m-k+2}{3} \right)a_{k-2}\\ &=\sf -\frac{m-k+1}{3}\cdot \left(-\frac{m-k+2}{3} \right)\cdot \left(-\frac{m-k+3}{3} \right)a_{k-3}\\ &\ \vdots\sf \\ &=\sf -\frac{m-k+1}{3}\cdot \left(-\frac{m-k+2}{3} \right)\cdot \left(-\frac{m-k+3}{3} \right)\cdot \ldots \cdot \left(-\frac{m-1}{3} \right)\cdot \left(-\frac{m}{3} \right)a_{0}\\ &=\sf \left(-\frac{1}{3} \right)^{k}\cdot m\left(m-1 \right)\left(m-2 \right)\ldots \left(m-k+2 \right)\left(m-k+1 \right)\ a_0\\ &=\sf \left(-\frac{1}{3} \right)^{k}\cdot \frac{m!}{\left(m-k \right)!}\cdot \frac{1}{3}\end{align*}}$
これはk=0のときも成り立つ。
よって、二項定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_m&=\sf \sum_{k=0}^m\frac{a_k}{k!}\\ &=\sf \frac{1}{3}\sum_{k=0}^m\left(-\frac{1}{3} \right)^{k}\cdot \frac{m!}{k!\left(m-k \right)!}\\ &=\sf \frac{1}{3}\sum_{k=0}^m\ _mC_k\left(-\frac{1}{3} \right)^{k}\\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3} \right)^m\\ &=\sf \underline{\ \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3} \right)^m}\end{align*}}$
これも難しいでしょうねーー。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:28:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2010
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