2010福島県立医科大 数学２

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【解答】

　(１)
　　　真数条件より、x＞0．
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2\log x\cdot\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{2\left(\log x+1 \right)}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{2\cdot\frac{1}{x}\cdot x-2\left(\log x+1 \right)\cdot 1}{x^2}=-\frac{2\log x}{x^2}\end{align*}}$
　　　これらより、f(x)の増減・凹凸は次のようになる。

　　　　　

　　　よって、曲線Cの概形は右図のようになる。
　　　　　極小値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{1}{e}\right)=\underline{\ -1}\end{align*}}$
　　　　　変曲点
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(1\ ,\ 0 \right)}\end{align*}}$


　(２)
　　　C上の点(t，f(t))における接線の方程式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\big\{\left(\log x \right)^2+2\log x\big\}=\frac{2\left(\log t+1 \right)}{t}\left(x-t \right)\end{align*}}$
　　　であり、これが原点を通るとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(\log x \right)^2-2\log x=-2\log t-2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x=\pm \sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=e^{\pm \sqrt2}\end{align*}}$ ．
　　　a＜b、e＞1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=e^{-\sqrt2}\ \ ,\ \ b=e^{\sqrt2}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　　(２)より点A、Bの座標はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(e^{-\sqrt2}\ ,\ 2-2\sqrt2 \right)\ \ ,\ \ B\left(e^{\sqrt2}\ ,\ 2+2\sqrt2 \right)\end{align*}}$
　　　である。
　　　Cのa≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$ の部分をC₁、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$ ≦x≦bの部分をC₂とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left( \log x\right)^2+2\log x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( \log x\right)^2+2\log x-y=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x=-1\pm\sqrt{y+1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{-1\pm\sqrt{y+1}}\end{align*}}$
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x=e^{-1-\sqrt{y+1}}\ \ ,\ \ C_2:\ x=e^{-1+\sqrt{y+1}}\end{align*}}$ ．

　　　曲線Cの点Aから点Bまでの部分と線分OA、OBで囲まれる図形を
　　　ｙ軸の周りに回転してできる回転体の体積をVとおくと、
　　　　　　V=(青線部分の回転体の体積)-(緑色部分の回転体の体積)
　　　として求めることができる。



　　　【青線部分の回転体】
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-1+\sqrt{y+1}\end{align*}}$
　　　　と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y+1}}=\frac{1}{2\left( s+1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-1\ \ \Rightarrow\ \ s=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=2+2\sqrt2\ \ \Rightarrow\ \ s&=\sf -1+\sqrt{3+2\sqrt2}\\ &=\sf -1+\left(\sqrt2+1 \right)\\ &=\sf \sqrt2\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \pi\int_{-1}^{2+2\sqrt2}\left(e^{-1+\sqrt{y+1}} \right)^2dy&=\sf \pi\int_{-1}^{\sqrt2}e^{2s}\cdot 2\left(s+1 \right)ds\\ &=\sf 2\pi\left[\frac{1}{2}\left(s+1 \right)e^{2s} \right]_{-1}^{\sqrt2}-2\pi\int_{-1}^{\sqrt2}\frac{1}{2}e^{2s}ds\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\left[\left(2s+1 \right)e^{2s} \right]_{-1}^{\sqrt2}\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\bigg\{ \left(2\sqrt2+1 \right)e^{2\sqrt2}+e^{-2}\bigg\}\end{align*}}$

　　　【緑色アの部分の回転体】
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-1-\sqrt{y+1}\end{align*}}$
　　　　と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dy}=-\frac{1}{2\sqrt{y+1}}=\frac{1}{2\left( s+1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-1\ \ \Rightarrow\ \ s=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=2-2\sqrt2\ \ \Rightarrow\ \ s&=\sf -1-\sqrt{3-2\sqrt2}\\ &=\sf -1-\left(\sqrt2-1 \right)\\ &=\sf -\sqrt2\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \pi\int_{-1}^{2-2\sqrt2}\left(e^{-1-\sqrt{y+1}} \right)^2dy&=\sf \pi\int_{-1}^{-\sqrt2}e^{2s}\cdot 2\left(s+1 \right)ds\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\bigg\{ \left(-2\sqrt2+1 \right)e^{-2\sqrt2}+e^{-2}\bigg\}\end{align*}}$

　　　【緑色イの部分の回転体】
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\cdot a^2\cdot\left|2-2\sqrt2\right|=\frac{2\left(\sqrt2-1\right)\pi}{3}\ e^{-2\sqrt2}\end{align*}}$

　　　【緑色ウの部分の回転体】
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\cdot b^2\cdot\left|2+2\sqrt2\right|=\frac{2\left(\sqrt2+1\right)\pi}{3}\ e^{2\sqrt2}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{2}\bigg\{ \left(2\sqrt2+1 \right)e^{2\sqrt2}+e^{-2}\bigg\}-\frac{\pi}{2}\bigg\{ \left(-2\sqrt2+1 \right)e^{-2\sqrt2}+e^{-2}\bigg\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2\left(\sqrt2-1\right)\pi}{3}\ e^{-2\sqrt2}-\frac{2\left(\sqrt2+1\right)\pi}{3}\ e^{2\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{2\sqrt2-1}{6}e^{2\sqrt2}+\frac{2\sqrt2+1}{6}e^{-2\sqrt2} \right)\pi }\end{align*}}$




　　計算がイヤですね。