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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011福島県立医科大 数学3



第3問

  正の実数a、bについて、双曲線C1:x2-y2=a2 と楕円C2
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{2}=1\end{align*}}$ は共有点をもち、その点におけるC1の接線とC2
  接線は直交している。第1象限におけるC1とC2の共有点をPと
  し、eを自然対数の底として、以下の問いに答えよ。

 (1) bおよび点Pの座標をaを用いて表せ。

 (2) C1はtを媒介変数として
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\ a\ \ ,\ \ y=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\ a\end{align*}}$
    と表すことができる。点Pの座標を表すtをaを用いて表せ。

 (3) x>0の範囲において、C1とC2によって囲まれる部分の面積
    をSaとする。Saをaを用いて表せ。

 (4) (3)のSaについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\left( 1+h\right)\frac{1}{h}=e\end{align*}}$ を利用することによって、
    極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{S_a}{a}\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/09(火) 01:22:00|
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