2011福島県立医科大 数学１(１)

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【解答】

　(ⅰ)
　　　f(x)の導関数は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-3a=3\left(x^2-a \right)\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}f\ (x)=+\infty\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow -\infty}f\ (x)=-\infty\end{align*}}$

　　　(ア) a≦0のとき
　　　　　　常にf’(x)≦0となるためf(x)は単調に増加する。
　　　　　　よって、方程式f(x)=0の実数解は1個


　　　以下は、a＞0の場合を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{a}\end{align*}}$
　　　であり、これらの値の前後でf’(x)の符号が変化する
　　　ので、f(x)は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm\sqrt{a}\end{align*}}$ で極値をとる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\sqrt{a} \right)\cdot f\left(-\sqrt{a} \right)&=\sf \left(a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}-2b \right)\left(-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}-2b \right)\\ &\sf =4\left(b+a\sqrt{a} \right)\left(b-a\sqrt{a} \right) \end{align*}}$

　　　(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf blt -a\sqrt{a}\ ,\ a\sqrt{a}\lt b\end{align*}}$ のとき
　　　　　　極大値と極小値が同符号なので、
　　　　　　方程式f(x)=0の実数解は1個

　　　(ウ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\pm a\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　極大値=0または極小値=0なので、
　　　　　　方程式f(x)=0の実数解は2個

　　　(エ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a\sqrt{a}\lt b\lt a\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　極大値と極小値が異符号なので、
　　　　　　方程式f(x)=0の実数解は3個


　　　　　



　(ⅱ)
　　　・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=a\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-3ax-2a\sqrt{a}=\left(x+\sqrt{a} \right)^2\left(x-2\sqrt{a} \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=-\sqrt{a}\ ,\ 2\sqrt{a}\ }\end{align*}}$

　　　・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-a\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-3ax+2a\sqrt{a}=\left(x-\sqrt{a} \right)^2\left(x+2\sqrt{a} \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\sqrt{a}\ ,\ -2\sqrt{a}\ }\end{align*}}$


　(ⅲ)
　　　(ⅰ)より、f(x)=0が3つの異なる実数解をもつのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\gt 0\ \ ,\ \ -a\sqrt{a}\lt b\lt a\sqrt{a}\end{align*}}$
　　　のときであり、このとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-2\sqrt{a} \right)=-2\left( b+a\sqrt{a}\right)<0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-\sqrt{a} \right)=-2\left( b-a\sqrt{a}\right)>0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\sqrt{a} \right)=-2\left( b+a\sqrt{a}\right)<0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(2\sqrt{a} \right)=-2\left( b-a\sqrt{a}\right)>0\end{align*}}$
　　　なので、方程式f(x)=0は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2a\sqrt{a}\lt x\lt -a\sqrt{a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a\sqrt{a}\lt x\lt a\sqrt{a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\sqrt{a}\lt x\lt 2a\sqrt{a}\end{align*}}$
　　　の範囲にそれぞれ1つずつ実数解をもつ。
　　　よって、これらの絶対値はすべて $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{|a|}\end{align*}}$ より小さい。




　　これは難しくありません。
　　グラフを描きましょう！