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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012福島県立医科大 数学4



第4問

  自然数を自然数に移す関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (n)=\left\{\begin{matrix} \sf \frac{n}{2} & (\sf n=2N) \\ \\\sf n+1 & (\sf n=2N-1) \end{matrix}\right.\end{align*}}$  (N:自然数)
  について、fがmをnに移すことを、$\small\sf{\begin{align*} \sf m\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } n\end{align*}}$ と表す。例えば、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\ \ ,\ \ \ 3\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 4\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\end{align*}}$
  である。2以上の自然数nをfで繰り返し移すとき、1に移るまでに
  必要な最小の移動回数をanとする。したがって、a2=1、a3=3で
  ある。nを自然数として、以下の問いに答えよ。
 (1) a2n+1とa2n+2をそれぞれan+1を用いて表せ。
 (2) 数列{a2,a3,a4,…}を次のように、第n群の項数が2n-1
    なるように分ける。
      a2|a3,a4|a5,a6,a7,a8|a9,a10,…a16|…
  (ⅰ) 第n群の初項をnを用いて表せ。
  (ⅱ) 第n群の総和をSnとする。Sn+1をnとSnを用いて表せ。
     また、Snをnを用いて表せ。
  (ⅲ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^{2^n}a_k\end{align*}}$ をnを用いて表せ。
        

 


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/09(火) 01:18:00|
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