第４問
自然数を自然数に移す関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (n)=\left\{\begin{matrix} \sf \frac{n}{2} & (\sf n=2N) \\ \\\sf n+1 & (\sf n=2N-1) \end{matrix}\right.\end{align*}}$ （N：自然数）
について、fがmをnに移すことを、$\small\sf{\begin{align*} \sf m\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } n\end{align*}}$ と表す。例えば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\ \ ,\ \ \ 3\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 4\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\end{align*}}$
である。2以上の自然数nをfで繰り返し移すとき、1に移るまでに
必要な最小の移動回数をanとする。したがって、a2=1、a3=3で
ある。nを自然数として、以下の問いに答えよ。
(１) a2n+1とa2n+2をそれぞれan+1を用いて表せ。
(２) 数列{a2，a3，a4，…}を次のように、第n群の項数が2n-1に
なるように分ける。
a2|a3，a4|a5，a6，a7，a8|a9，a10，…a16|…
(ⅰ) 第n群の初項をnを用いて表せ。
(ⅱ) 第n群の総和をSnとする。Sn+1をnとSnを用いて表せ。
また、Snをnを用いて表せ。
(ⅲ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^{2^n}a_k\end{align*}}$ をnを用いて表せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n+1\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2n+2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } n+1\end{align*}}$
と移動するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{2n+2}=a_{n+1}+1\ \ ,\ \ a_{2n+1}=a_{n+1}+2}\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
第n群の初項をbnとおく。
第n群の項数が2n-1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\left(2^0+2^1+2^2+\ldots 2^{n-1}\right)=1+\frac{2^n-1}{2-1}=2^n\end{align*}}$
より、第n群の末項は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2^n}\end{align*}}$ 、第n-1群の末項は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2^{n-1}}\end{align*}}$ である。
よって、第n群の初項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=a_{2^{n-1}+1}\end{align*}}$
となり、２回の移動によって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{n-1}+1\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2^{n-1}+2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2^{n-2}+1\end{align*}}$
と移るので、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_1=1\ \ ,\ \ b_{n}=b_{n-1}+2\end{align*}}$
が成り立つ。数列{bn}は公差2の等差数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+2\left(n-1 \right)=\underline{\ 2n-1\ }\end{align*}}$
(２)(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=a_{2^{n-1}+1}+a_{2^{n-1}+2}+\ldots +a_{2^{n}-1}+a_{2^{n}}\end{align*}}$
なので、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{n+1}&=\sf a_{2^{n}+1}+a_{2^{n}+2}+\ldots +a_{2^{n+1}-1}+a_{2^{n+1}}\\ &=\sf \left(a_{2^{n-1}+1}+2 \right)+\left(a_{2^{n-1}+1}+1 \right)+\ldots \left(a_{2^{n}+1}+2 \right)+\left(a_{2^{n}+1}+1 \right)\\ &=\sf 2\left( a_{2^{n-1}+1}+a_{2^{n-1}+2}+\ldots +a_{2^{n}-1}+a_{2^{n}}\right)+\left(2+1 \right)\cdot 2^{n-1}\\ &=\sf \underline{\ 2S_n+3\cdot 2^{n-1}}\end{align*}}$
両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{S_n}{2^n}+\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \frac{S_n}{2^n}\right\}\end{align*}}$ は等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_n}{2^n}&=\sf \frac{S_1}{2^1}+\frac{3}{4}\left(n-1 \right)\\ &\sf =\frac{3n-1}{4}\ \ \ \ \left(\because\ S_1=a_2=1 \right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=\underline{\ \left(3n-1 \right)\cdot 2^{n-2}\ }\end{align*}}$
(２)(ⅲ)
求める和をTとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\sum_{k=2}^{2^n}a_k=\sum_{k=1}^nS_k=\sum_{k=1}^n\left(3k-1 \right)\cdot 2^{k-2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=2\cdot 2^{-1}+5\cdot 2^0+8\cdot 2^1+\ldots +\left(3n-1 \right)\cdot 2^{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2T= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\cdot 2^{0}+5\cdot 2^1+\ldots +\left(3n-4 \right)\cdot 2^{n-2}+\left(3n-1 \right)\cdot 2^{n-1}\end{align*}}$
辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -T&=\sf 1+3\cdot 1+3\cdot 2+3\cdot 2^2+\ldots +3\cdot 2^{n-2}-\left(3n-1 \right)\cdot 2^{n-1}\\ &=\sf 1+\frac{3\left(2^{n-1}-1 \right)}{2-1}-\left(3n-1 \right)\cdot 2^{n-1}\\ &=\sf -\left(3n-4 \right)\cdot 2^{n-1}-2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ T=\underline{\ \left(3n-4 \right)\cdot 2^{n-1}+2}\end{align*}}$
これは完答したいですね！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:18:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2012
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