第３問
nは自然数とする。3次方程式x3−3x2−27x−27=0の3つの
解a、b、cについて、pn=an+bn+cnとおく。以下の問いに答
えよ。
(１) a、b、cは3つの異なる実数であることを示せ。
(２) p1、p2、p3の値を求めよ。
(３) pn+3をpnpn+1およびpn+2を用いて表せ。
(４) pnは3nの倍数であることを示せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-3x^2-27x-27\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-6x-27=3\left(x^2-2x-9 \right)\end{align*}}$ ．
また、筆算を用いてf(x)をf’(x)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{3}\left(x-1 \right)f\ '(x)-20x-36\end{align*}}$
と変形できるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1+\sqrt{10} \right)=-20\left(1+\sqrt{10} \right)-36<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1-\sqrt{10} \right)=-20\left(1-\sqrt{10} \right)-36=4\left(5\sqrt{10}-14 \right)>0\end{align*}}$
これらより、f(x)の増減および曲線y=f(x)の概形は
次のようになる。
よって、曲線y=f(x)はx軸と異なる3点で交わるので、
方程式f(x)=0は相異なる3つの実数解をもつ。
(２)
3次方程式の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+c=3\ \ ,\ \ ab+bc+ca=-27\ \ ,\ \ abc=27\end{align*}}$ ……(#)
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=a+b+c=\underline{\ 3\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c \right)^2-2\left( ab+bc+ca\right)=\underline{\ 63\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_3&\sf =a^3+b^3+c^3 \\ &=\sf \left(a+b+c \right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right)+3abc\\ &=\sf \underline{\ 351\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+3}&\sf =a^{n+3}+b^{n+3}+c^{n+3} \\ &\sf =\left(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2} \right)\left(a+b+c \right)-a^{n+2}b-b^{n+2}c-c^{n+2}a-ab^{n+2}-bc^{n+2}-ca^{n+2} \\ &\sf =3p_{n+2}-\left\{a^{n+2} \left(b+c \right)+b^{n+2}\left(c+a \right)+c^{n+2}\left(a+b \right)\right\} \\ &\sf =3p_{n+2}-\left\{\left(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1} \right)\left(ab+bc+ca \right)-a^{n+1}bc-ab^{n+1}c-abc^{n+1}\right\} \\ &\sf =3p_{n+2}-\left\{-27p_{n+1}-abc\left(a^{n}+b^{n}+c^{n}\right)\right\} \\ &\sf =\underline{\ 3p_{n+2}+27p_{n+1}+27p_n} \end{align*}}$
(４)
pnが3nの倍数であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1、2、3のとき、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=3\ \ ,\ \ p_2=3^2\cdot 7\ \ ,\ \ p_3=3^3\cdot 13\end{align*}}$
(ⅱ)n=k、k+1、k+2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k\ ,\ p_{k+1}\ ,\ p_{k+2}\end{align*}}$ がそれぞれ3k、3k+1、3k+2の倍数であると
仮定すると、整数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_k\ ,\ q_{k+1}\ ,\ q_{k+2}\end{align*}}$ を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=3^kq_k\ ,\ p_{k+1}=3^{k+1}q_{k+1}\ ,\ p_{k+2}=3^{k+2}q_{k+2}\end{align*}}$
と表されるので、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{k+3}&\sf =3p_{k+2}+27p_{k+1}+27p_k\sf \\ &\sf = 3^{k+3}q_{k+2}+3^{k+4}q_{k+1}+3^{k+3}q_{k}\\ &\sf =3^{k+3}\left(q_{k+2}+3q_{k+1}+q_{k}\right) \end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{k+3}\end{align*}}$ は3k+3 の倍数である。
以上より、任意の自然数nに対して、pnは3nの倍数である。
(３)の変形が難しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:17:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2012
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