2012福島県立医科大 数学２(２)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(ⅰ)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \sin\frac{x}{2}\right)'=\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\end{align*}}$ より、PにおけるCの接線は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-\sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{t}{2}\right)\left(x-t \right)\end{align*}}$
　　　L₁のx切片は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{t}{2}\right)\left(x-t \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{t-2\tan\frac{t}{2}}\end{align*}}$


　(ⅱ)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \sin\frac{x}{2}\right)''=-\frac{1}{4}\sin\frac{x}{2}\lt 0\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt x\lt\pi \right)\end{align*}}$
　　　なので、Cは上に凸な曲線である。
　　　よって、L₁、L₂、Cの位置関係は
　　　右図のようになる。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_1&=\sf \frac{\pi}{3}\left( \sin\frac{t}{2}\right)^2\cdot \left\{t- \left(t-2\tan\frac{t}{2} \right)\right\}\\ &=\sf \underline{\ \frac{2\pi}{3}\sin^2\frac{t}{2}\tan\frac{t}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_2&=\sf \frac{\pi}{3}\left( \sin\frac{t}{2}\right)^2\cdot t &=\sf \underline{\ \frac{\pi}{3}\ t\sin^2\frac{t}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^t\sin^2\frac{x}{2}\ dx\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\int_0^t\left(1-\cos x \right)dx\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\bigg[x-\sin x \bigg]_0^t\\ &=\sf \underline{\ \frac{\pi}{2}\left(t-\sin t \right)}\end{align*}}$


　(ⅲ)
　　　V₂＜V＜V₁より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\ t\sin^2\frac{t}{2}\lt\frac{\pi}{2}\left(t-\sin t \right)\lt\frac{2\pi}{3}\sin^2\frac{t}{2}\tan\frac{t}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}\ t\sin^2\frac{t}{2}\lt t-\sin t\lt\frac{4}{3\cos\frac{t}{2}}\sin^3\frac{t}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{t}\right)^2<\frac{t-\sin t}{t^3} <\frac{4}{3\cos\frac{t}{2}}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{t}\right)^3\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=t\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{2}{3}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{t}\right)^2&=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{2}{3}\left(\frac{\sin\theta}{2\theta}\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{6}\lim_{\theta\rightarrow +0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{4}{3\cos\frac{t}{2}}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{t}\right)^3&=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{4}{3\cos\theta}\left(\frac{\sin\theta}{2\theta}\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{6}\lim_{\theta\rightarrow +0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　はさみうちの原理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t-\sin t}{t^3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$

　　　また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=-t\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow -0}\frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}&=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{-t-\sin\left(- t\right)}{\left(-t\right)^3}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t-\sin t}{t^3}\\ &=\sf \frac{1}{6}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}&=\sf \underline{\ \frac{1}{6}}\end{align*}}$



　　V₂＜V＜V₁に気づけば問題なしです。