2010札幌医科大 数学３

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【解答】

　　　P、Qはそれぞれ円C₁、C₂上の点なので、
　　　その座標は変数p、qを用いて
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(-a+a\cos p\ ,\ a\sin p \right)\ \ ,\ \ Q\left(b+b\cos q\ ,\ b\sin q \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　このとき、△OABの面積をSとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\left|\left(-a+a\cos p \right)\cdot b\sin q-a\sin p \cdot\left(b+b\cos q \right) \right|\\ &=\sf \frac{ab}{2}\big|\sin p\cos q-\cos p\sin q+\sin p+\sin q \big|\ \ \ \left(\because\ a,b>0 \right)\\ &=\sf \frac{ab}{2}\big|\sin\left(p-q \right)+\sin p+\sin q\big|\end{align*}}$　　

　　　まず、qの値を固定し、pの関数
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=\sin\left(p-q \right)+\sin p+\sin q\end{align*}}$
　　　を考えると、和→積の公式より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(p)&=\sf \cos\left( p-q\right)+\cos p \\ &=\sf 2\cos\frac{2p-q}{2}\cos\frac{q}{2}\end{align*}}$
　　　また、|f(p)|の最大値をqの関数とみなしてh(q)とおく。


　(１)
　　　P、Qともにx軸の上側にあるとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{2}<-\frac{q}{2}<\frac{2p-q}{2}<\pi-\frac{q}{2}<\pi\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2p-q}{2}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{q+\pi}{2}\ \ \ \left(\because\ \cos\frac{q}{2}>0\right)\end{align*}}$
　　　よって、f(p)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow +0}f\ (p)=0\ \ ,\ \ \lim_{p\rightarrow \pi -0}f\ (p)=2\sin q>0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (q)&=\sf f\left( \frac{q+\pi}{2}\right)\sf \\ &=\sf \sin\frac{\pi -q}{2}+\sin\frac{q+\pi}{2}+\sin q\\ &=\sf 2\cos\frac{q}{2}+\sin q\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(q)&=\sf -\sin\frac{q}{2}+\cos q\\ &=\sf -\sin\frac{q}{2}-1-2\sin^2\frac{q}{2}\\ &=\sf -\left(2\sin\frac{q}{2}-1 \right)\left(\sin\frac{q}{2}+1 \right)\end{align*}}$
　　　これより、h(q)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　よって、Sの最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}&=\sf \frac{ab}{2}\ h\left( \frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sf \frac{ab}{2}\left(2\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3} \right)\\ &=\sf \underline{\ \frac{3\sqrt3}{4}ab }\end{align*}}$


　(２)
　　　Pがx軸より上側、Qがx軸の下側にあるとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<-\frac{q}{2}<\frac{2p-q}{2}<\pi-\frac{q}{2}<\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
　　　なので、f(p)の増減は(１)と同じであるが、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{p\rightarrow \pi -0}f\ (p)=2\sin q\lt 0\ \ \ \left(\because\ -\pi \lt q\lt 0 \right)\end{align*}}$
　　　なので、h(q)については、次の２つの場合が考えられる。
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ f\left( \frac{q+\pi}{2}\right)<\left| 2\sin q\right|=-2\sin q\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ f\left( \frac{q+\pi}{2}\right)\geqq -2\sin q\end{align*}}$

　　　(ⅰ)の場合は
　　　　　　|f(p)|の最大値が存在しない。

　　　(ⅱ)の場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{q+\pi}{2}\right)=2\cos\frac{q}{2}+\sin q\geqq -2\sin q\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\cos\frac{q}{2}+3\sin q\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\cos\frac{q}{2}+6\sin\frac{q}{2}\cos\frac{q}{2}=2\cos\frac{q}{2}\left(3\sin\frac{q}{2}+1 \right)\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{3}\leqq\sin\frac{q}{2}<0\ \ \ \left(\because\ \cos\frac{q}{2}>0 \right)\end{align*}}$　　　……(#)
　　　　　このとき、(１)と同様
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (q)&=\sf f\left( \frac{q+\pi}{2}\right)=\sf 2\cos\frac{q}{2}+\sin q\ \ \ \left(-\pi \lt q\lt 0 \right)\end{align*}}$
　　　　　となるが、(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(q)&=\sf -\left(2\sin\frac{q}{2}-1 \right)\left(\sin\frac{q}{2}+1 \right)>0\end{align*}}$
　　　　　なので、h(q)は単調に増加する。
　　　　　よって、h(q)の最大値は存在しない。

　　　以上より、△OPQの面積Sの最大値は存在しない。




　　変数が2つある場合は、まず1文字を固定しましょう。
　　しかしまぁ、(２)の「最大値なし」っていうのは やめて欲しいですよねｗｗｗ