第２問
1からnまでの自然数が書かれたカードが1枚ずつある。この中から
無作為に2枚のカードを同時に取り出し、小さい方の自然数をa、
大きい方の自然数をbとする。ただしnは2以上の自然数とする。
(１) kを1≦k≦nをみたす自然数とするとき、a=kとなる確率をkとn
を用いて表せ。
(２) aの期待値をnを用いて表せ。
(３) bの期待値をnを用いて表せ。
(４) b-aの期待値をnを用いて表せ。
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【解答】
2枚のカードの取り出し方の総数はnC2通り
(１)
a=kとなるのは、
(a，b)=(k，k+1)、(k，k+2)、……、(k，n)
のn-k通りあるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-k}{_nC_2}=\underline{\ \frac{2\left(n-k \right)}{n\left(n-1 \right)}\ }\end{align*}}$
(２)
aは1≦a≦n-1の値をとるので、(１)よりaの期待値E(a)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E(a)=\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot\frac{2\left(n-k \right)}{n\left(n-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{n\left(n-1 \right)}\sum_{k=1}^{n}\left(-k^2+nk \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{n\left(n-1 \right)}\sum_{k=1}^{n}\left\{-\frac{1}{6}n\left(n+1 \right)\left(2n+1 \right)+\frac{1}{2}n^2\left(n+1 \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n+1}{3}\ }\end{align*}}$
(３)
b=kとなるのは、
(a，b)=(1，k)、(2，k)、……、(k-1，k)
のk-1通りあるので、b=kとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k-1}{_nC_2}=\frac{2\left(k-1 \right)}{n\left(n-1 \right)}\end{align*}}$
bは2≦b≦nの値をとるので、bの期待値E(b)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E(b)=\sum_{k=2}^{n}k\cdot\frac{2\left(k-1 \right)}{n\left(n-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{n\left(n-1 \right)}\sum_{k=1}^{n}\left(k^2-k \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{n\left(n-1 \right)}\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{6}n\left(n+1 \right)\left(2n+1 \right)-\frac{1}{2}n\left(n+1 \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\left(n+1\right)}{3}\ }\end{align*}}$
(４)
b-a=kとなるのは、
(a，b)=(1，k+1)、(2，k+2)、……、(n-k，n)
のn-k通りあるので、b-a=kとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-k}{_nC_2}=\frac{2\left(n-k \right)}{n\left(n-1 \right)}\end{align*}}$
b-aは1≦b-a≦n-1の値をとるので、b-aの期待値E(b-a)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E(b-a)=\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot\frac{2\left(n-k \right)}{n\left(n-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n+1}{3}\ }\end{align*}}$
これは易しいですね。
(４)は、E(b-a)=E(b)-E(a)で求めた方が楽ですが、知ってますかね？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/13(土) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2010
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