第３問
aを正の定数、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2 とし、行列Xa，$\small\sf{\theta}$ を
$\small\sf{\begin{align*} \sf X_{a,\theta}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \frac{1}{a} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf \sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf -\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
で定義する。またEを2次の単位行列とする。
(１) 2次の正方行列Xが、X2=Eを満たし、行列Xの表す1次変換は、
点(1，0)を第1象限内に、点(0，1)を第4象限内に移すとする。
このとき行列XはXa，$\small\sf{\theta}$ の形になることを示せ。
(２) a1とa2を正の定数、$\small\sf{\theta}$ 1と$\small\sf{\theta}$ 2を第1象限の角とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=X_{a_1,\theta_1}\ \ ,\ \ B=X_{a_2,\theta_2}\end{align*}}$
とするとき(AB)2=Eとなるための条件をa1、a2、$\small\sf{\theta}$ 1、$\small\sf{\theta}$ 2を
用いて表せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{p}{r}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{q}{s}\end{align*}}$
より、行列Xによって2点(1，0)、(0，1)はそれぞれ
点(p，r)、(q，s)に移る。
題意より(p，r)は第1象限内の点、(q，s)は第4象限内の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p>0\ ,\ q>0\ ,\ r>0\ ,\ s<0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2=\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf p^2+qr&\sf q\left(p+s \right) \\ \sf r\left(p+s \right)& \sf s^2+qr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
両辺の(1，2)成分、(2，1)成分を比較すると、
(ⅰ)よりq≠0、r≠0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+s=0\end{align*}}$ ……(ⅲ)
また、(ⅱ)の両辺の(1，1)成分を比較すると、
(ⅰ)より、qr＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2=1-qr<1\end{align*}}$ ． ……(ⅳ)
(ⅲ)、(ⅳ)とp＞0より、0＜p＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\cos\theta\ \ ,\ \ s=-\cos\theta\ \ \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
を満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ が存在する。
このとき、(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf qr=1-p^2=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{q}{\sin\theta}\ (>0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=a\sin\theta\ ,\ r=\frac{1}{a}\sin\theta\end{align*}}$
である。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf a\sin\theta \\ \sf \frac{1}{a}\sin\theta & \sf -\cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \frac{1}{a} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf a\sin\theta \\ \sf \sin\theta& \sf -a\sin\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \frac{1}{a} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf \sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf -\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるので、XはXa，$\scriptsize\sf{\theta}$ の形で表せる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \frac{1}{a_1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta_1&\sf \sin\theta_1 \\ \sf \sin\theta_1 & \sf -\cos\theta_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta_1&\sf a_1\sin\theta_1 \\ \sf \frac{1}{a_1}\sin\theta_1 & \sf -\cos\theta_1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、Bも同様に計算できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta_1&\sf a_1\sin\theta_1 \\ \sf \frac{1}{a_1}\sin\theta_1 & \sf -\cos\theta_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta_2&\sf a_2\sin\theta_2 \\ \sf \frac{1}{a_2}\sin\theta_2 & \sf -\cos\theta_2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\theta_1\cos\theta_2+\frac{a_1}{a_2}\sin\theta_1\sin\theta_2&\sf a_2\cos\theta_1\sin\theta_2-a_1\sin\theta_1\cos\theta_2 \\ \sf \frac{1}{a_1}\sin\theta_1\cos\theta_2-\frac{1}{a_2}\cos\theta_1\sin\theta_2 & \sf \cos\theta_1\cos\theta_2+\frac{a_2}{a_1}\sin\theta_1\sin\theta_2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
簡単のため、ABの各成分を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r& \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
と書くことにすると、(ⅱ)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( AB\right)^2=\begin{pmatrix} \sf p^2+qr&\sf q\left(p+s \right) \\ \sf r\left(p+s \right)& \sf s^2+qr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ⅴ)
を得る。
a1＞0、a2＞0、$\scriptsize\sf{\theta}$ 1と$\scriptsize\sf{\theta}$ 2は第1象限の角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p>0\ \ ,\ \ s>0\end{align*}}$ ……(ⅵ)
であり、(ⅳ)の両辺の(1，2)成分、(2，1)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=r=0\end{align*}}$ ……(ⅶ)
よって、(ⅳ)の両辺の(1，1)成分、(2，2)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2=s^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=s=1\ \left(>0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta_1\cos\theta_2+\frac{a_1}{a_2}\sin\theta_1\sin\theta_2=\cos\theta_1\cos\theta_2+\frac{a_2}{a_1}\sin\theta_1\sin\theta_2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_1=a_2\ \ ,\ \ \cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2=\cos\left(\theta_1-\theta_2 \right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_1=a_2\ \ ,\ \ \theta_1=\theta_2\ \ \ \ \left(\because\ 0<\theta_1< \frac{\pi}{2}\ ,\ 0<\theta_2< \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=r=a_1\cos\theta_1\sin\theta_1-a_1\sin\theta_1\cos\theta_1=0\end{align*}}$
となるので(ⅶ)も成り立つ。
以上より、(AB)2=Eとなるための条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_1=a_2\ \ ,\ \ \theta_1=\theta_2\ \ \ \ }\end{align*}}$
である。
これは他の問題と比べると難しいですね。
(１)ぐらいは何とかして解きたいものです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/13(土) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2011
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