第２問
1からnまでの番号が書かれたn個の箱があり、各々の箱には2n本の
くじが入っている。番号がLの箱にはL本の当たりが入っているとする。
この条件で次の①、②を試行する。
① 無作為に箱を1つ選ぶ。
② ①で選んだ箱を用いて、くじを1本ひいては戻すことをm回繰り
返す。
この試行でk回当たりくじを引く確率をPn(m，k)とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,0 \right)\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,1 \right)\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,2 \right)\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(m,1 \right)\end{align*}}$ をmを用いて表せ。
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【解答】
①において、番号Lの箱を選ぶ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ であり、
②において、m回のうちk回当たりくじを引く確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _mC_k\left(\frac{L}{2n} \right)^k\left(1-\frac{L}{2n} \right)^{m-k}\end{align*}}$
L=1，2，…，nの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(m\ ,\ k \right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{L=1}^n\frac{1}{n}\cdot _mC_k\left(\frac{L}{2n} \right)^k\left(1-\frac{L}{2n} \right)^{m-k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_mC_k\int_0^1\left(\frac{x}{2} \right)^k\left(1-\frac{x}{2} \right)^{m-k}dx\end{align*}}$
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2\ ,\ 0 \right)=_2C_0\int_0^1\left(1-\frac{x}{2} \right)^{2}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{2}{3}\left(1- \frac{x}{2}\right)^3 \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{7}{12}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2\ ,\ 1 \right)=_2C_1\int_0^1\frac{x}{2}\left(1-\frac{x}{2} \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{6}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2\ ,\ 2 \right)=_2C_2\int_0^1\left(\frac{x}{2} \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^3}{12}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(m\ ,\ 1 \right)=_mC_1\int_0^1\frac{x}{2}\left(1-\frac{x}{2} \right)^{m-1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =m\int_1^{\frac{1}{2}}\left(1-t \right)t^{m-1}\cdot\left(-2dt\right)\end{align*}}$ ← $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=1-\frac{x}{2}\end{align*}}$ と置換
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m\int_{\frac{1}{2}}^1\left(t^{m-1}-t^m \right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m\left[\frac{x^m}{m}- \frac{x^{m+1}}{m+1}\right]_{\frac{1}{2}}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{m+1}\bigg[\left\{ \left(2m+2 \right)-2mx\right\}x^m\bigg]_{\frac{1}{2}}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{m+1}\left\{2- \left(\frac{1}{2} \right)^m\left(m+2 \right)\right\}\ }\end{align*}}$
区分求積法に気づきさえすれば難しくありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/13(土) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2011
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