第４問
次の問いに答えよ。
問１ 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f(x)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) 区間0＜x＜$\small\sf{\pi}$ でf(x)の増加減少を調べよ。
問２ 三角形ABCにおいて、∠A、∠Bの大きさをそれぞれA、Bとし、
それらの角の対辺の長さをそれぞれa、bで表す。0＜A＜B＜$\small\sf{\pi}$
のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos B}{1-\cos A}<\frac{B^2}{A^2}\end{align*}}$
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【解答】
問１
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(1-\cos x \right)\left(1+\cos x \right)}{x^2\left(1+\cos x \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2 x }{x^2\left(1+\cos x \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{sin x }{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1^2\cdot\frac{1}{1+1 }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2 }\ }\end{align*}}$
(２)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\sin x\cdot x^2-\left(1-\cos x \right)\cdot 2x}{x^4}=\frac{x\sin x+2\cos x-2}{x^3}\end{align*}}$
f’(x)の分子を$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x\sin x+2\cos x-2\ \ \left(0\lt x\lt \pi \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-\sin x\lt 0\ \ \ \left(\because\ 0\lt x\lt \pi \right)\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)\end{align*}}$ は単調に減少する。
このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0} g\ '(x)=0\end{align*}}$
より、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)\lt 0\end{align*}}$ となる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)\end{align*}}$ は単調に減少し、このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0} g\ (x)=0+2-2=0\end{align*}}$
より、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)\lt 0\end{align*}}$ となる。
また、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ではf’(x)の分母は正なので、f’(x)＜0となる。
よって、f(x)は単調に減少する。
問２
(１)より、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でf(x)は単調に減少するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt A\lt B\lt \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f(B)\lt f(A)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\cos B}{B^2}\lt \frac{1-\cos A}{A^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\cos B}{1-\cos A}\lt \frac{B^2}{A^2}\ \ \ \left( \because\ A^2\gt 0\ ,\ B^2\gt 0\ ,\ 1-\cos A\gt 0\right)\end{align*}}$
一方、関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{1-\cos x}{\sin^2x}\ \ \ \ \left(0\lt x\lt \pi \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{1-\cos x}{1-\cos^2x}=\frac{1}{1+\cos x}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{\sin x}{\left( 1+\cos x\right)^2}\gt 0\end{align*}}$ ．
よって、h(x)は単調に増加する。
△ABCの外接円の半径をRとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt A\lt B\lt \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ h(A)\lt h(B)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\cos A}{\sin^2A}\lt \frac{1-\cos B}{\sin^2B}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\cos B}{1-\cos A}\gt \frac{\sin^2B}{\sin^2A}\ \ \ \ \ \left( \because\ 0\lt A\lt B\lt \pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left( \frac{b}{2R}\right)^2}{\left( \frac{a}{2R}\right)^2}\end{align*}}$ ←正弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{b^2}{a^2}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b^2}{a^2}\lt \frac{1-\cos B}{1-\cos A}\lt \frac{B^2}{A^2}\end{align*}}$
が示された。
(３)のh(x)は、イチかバチか試してみたら上手い具合に単調増加でしたｗｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2010
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