第２問
a＞1とする。0＜t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{a-1}\end{align*}}$ となるtに対して、xy平面上の2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos t\ ,\ \sin t \right)\ \ ,\ \ Q\left(\cos at\ ,\ \sin at \right)\end{align*}}$
を通る直線をLtとする。次の問いに答えよ。
(１) 直線Ltの方程式を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)x+g(t)y=h(t)\end{align*}}$
とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf h(t)=-\sin\left(a-1 \right)t \end{align*}}$
のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(t)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) 行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}\end{align*}}$ は逆行列をもつことを示せ。
(３) x(t)、y(t)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}\binom{x(t)}{y(t)}=\binom{h(t)}{h\ '(t)}\end{align*}}$
を満たすものとし、点R(x(t)、y(t))が描く曲線をCとする。
このとき、点Rは直線Lt上にあり、曲線Cの点Rにおける接線は
Ltと一致することを示せ。
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【解答】
(１)
Lt上の点T(x，y)を考えると、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PT}=k\ \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-\cos t\ ,\ y-\sin t \right)=k\left(\cos at-\cos t\ ,\ \sin at-\sin t \right)\end{align*}}$
と表せるので、これよりkを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-\cos t\right)\left( \sin at-\sin t \right)= \left( y-\sin t \right)\left(\cos at-\cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\left( \sin at-\sin t \right)x+\left(\cos at-\cos t\right)y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos t\left( \sin at-\sin t \right) +\sin t \left(\cos at-\cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sin at\cos t+\cos at\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sin\left( a-1\right)t\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =h(t)\end{align*}}$
これと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)x+g(t)y=h(t)\end{align*}}$
の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(t)=-\sin at+\sin t \ \ ,\ \ g(t)=\cos at-\cos t\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-a\cos at+\cos t \ \ ,\ \ g\ '(t)=-a\sin at-\sin t\end{align*}}$
なので、与えられた行列をAとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf -\sin at+\sin t&\sf \cos at-\cos t \\ \sf -a\cos at+\cos t & \sf -a\sin at-\sin t \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、Aのデターミナントを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf detA=\left(-\sin at+\sin t\right)\left(-a\sin at-\sin t \right)-\left(\cos at-\cos t \right)\left(-a\cos at+\cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\sin^2at-\sin at\sin t-a\sin at\sin t+\sin^2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +a\cos^2at-a\cos at\cos t-\cos at\cos t+\cos^2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a+1-\left( a+1\right)\left(\sin at\sin t+\cos at\cos t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( a+1\right)\bigg\{1-\cos \left(a-1 \right)t\bigg\} \ne 0\ \ \ \ \ \left(\because\ 0<\left(a-1 \right)t<\pi \right)\end{align*}}$ ．
よって、Aは逆行列をもつ。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}\binom{x(t)}{y(t)}=\binom{h(t)}{h\ '(t)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{f\ (t)x(t)+g\ (t)y(t)}{f\ '(t)x(t)+g\ '(t)y(t)}=\binom{h(t)}{h\ '(t)}\end{align*}}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)x(t)+g\ (t)y(t)=h(t)\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)x(t)+g\ '(t)y(t)=h\ '(t)\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅰ)は点R(x(t)、y(t))が直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_t:\ f(t)x+g(t)y=h(t)\end{align*}}$
上にあることを表している。
また、(ⅰ)の両辺をtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)x(t)+f\ (t)x\ '(t)+g\ '(t)y(t)+g\ (t)y\ '(t)=h\ '(t)\end{align*}}$
この式と(ⅱ)の辺々差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)x\ '(t)+g\ (t)y\ '(t)=0\end{align*}}$ ……(ⅲ)
を得る。
点Rにおける曲線Cの接線をLとすると、その方向ベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\left(x\ '(t)\ ,\ y\ '(t) \right)\end{align*}}$ ．
で与えられ、一方、直線Ltの法線ベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}=\left(f\ (t)\ ,\ g\ (t) \right)\end{align*}}$
で与えられる。
この2つのベクトルの内積を考えると、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\cdot\overrightarrow{\sf n}=f\ (t)x\ '(t)+g\ (t)y\ '(t)=0\end{align*}}$
となるので、LはLtの法線ベクトルと直交するので、
LはLtと一致することになる。
(２)でAの逆行列の存在を示してますからね、
ついつい(３)で両辺からAの逆行列をかけで、(x(t))，y(t))を求めてしまい
たくなりますが、これは罠ですｗｗｗｗ 計算で軽く死にますｗｗｗ
とりあえず、結果だけ書いておきますと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x(t)=\frac{a\cos t+\cos at}{a+1}\ \ ,\ \ y(t)=\frac{a\sin t+\sin at}{a+1}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2010
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