第１問
次の問いに答えよ。
(１) 整数を係数とするn次方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots + a_{n-1}x+a_n=0\end{align*}}$
が有理数の解 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{B}{A}\end{align*}}$ （AとBは互いに素な整数とする）をもつとき、
Aはa0の約数であり、Bはanの約数であることを示せ。
(２) 素数pに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x+y+z=\frac{p}{3}\ \ ,\ \ xy+yz+zx=\frac{1}{p}\ \ ,\ \ xyz=\frac{1}{p^3}\end{align*}}$
を満たすx、y、zがすべて正の有理数であるとき、pおよびx、y、z
を求めよ。
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【解答】
(１)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{B}{A}\right)=a_0\left(\frac{B}{A}\right)^n+a_1\left(\frac{B}{A}\right)^{n-1}+a_2\left(\frac{B}{A}\right)^{n-2}+\ldots + a_{n-1}\cdot\frac{B}{A}+a_n=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_0B^n+a_1AB^{n-1}+a_2A^2B^{n-2}+\ldots +a_{n-1}A^{n-1}B+a_nA^n=0\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
(ⅰ)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_0B^{n-1}+a_1AB^{n-2}+a_2A^2B^{n-3}+\ldots +a_{n-1}A^{n-1}\right)B=-a_nA^n\end{align*}}$
と変形でき、左辺の( )内は整数なので、右辺はBの倍数である。
AとBは互いに素なので、anはBの倍数である。
一方、(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_0B^n=-A\left(a_1B^{n-1}+a_2AB^{n-2}+\ldots +a_{n-1}A^{n-2}B+a_nA^{n-1}\right)\end{align*}}$
とも変形でき、右辺の( )内は整数なので、左辺はAの倍数である。
AとBは互いに素なので、a0はAの倍数である。
以上より、 Aはa0の約数であり、Bはanの約数であることが示された。
(２)
三次方程式の解と係数の関係より、X、Y、Zはtについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^3-\frac{p}{3}t^2+\frac{1}{p}t-\frac{1}{p^3}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p^3t^3-p^4t^2+3p^2t-3=0\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
の3解である。
(ⅱ)の解の1つを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{B}{A}\end{align*}}$ (AとBは互いに素な自然数)とおくと、(１)より
Aは3p3の正の約数であり、Bは1または3である。
(ア) B=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{A}\end{align*}}$ を(ⅱ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3p^3\left(\frac{3}{A} \right)^3-p^4\left(\frac{3}{A} \right)^2+3p^2\cdot\frac{3}{A}-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{81p^3}{A^3}-\frac{9p^4}{A^2}+\frac{9p^2}{A}-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^3=3\left(9p^3-p^4A+p^2A^2 \right)\end{align*}}$
となり、右辺の( )内は整数なので、A3は3の倍数である。
よって、Aも3の倍数であるが、これはAとB(=3)が互いに素
であることに矛盾する。
よって、B=1である。
(イ) A=B=1のとき
すなわち、(ⅱ)がt=1を解にもつとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3p^3-p^4+3p^2-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^4-3p^3-3p^2+3=0\end{align*}}$ ･･････(ⅲ)
となり、pは整数なので、(１)より、pは3の約数、
すなわちp=1またはp=3である。
・p=1のときは、pが素数であることに矛盾する。
・p=3のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^4-3\cdot 3^3-3\cdot 3^2+3\ne 0\end{align*}}$
なので、(ⅲ)を満たさない。
よって、(ⅱ)はt=1を解にもたない。
(ア)、(イ)より、A≠1 かつ B=1であり、このことと、pが素数で
あることより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf xyz=\frac{1}{p^3}\end{align*}}$
が成り立つのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=y=z=\frac{1}{p}\end{align*}}$
の場合のみである。このとき(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3p^3\cdot\left(\frac{1}{p}\right)^3-p^4\cdot\left(\frac{1}{p}\right)^2+3p^2\cdot\frac{1}{p}-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3-p^2+3p-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p\left(p-3\right)=0\end{align*}}$
pは素数なので、これを満たすp、x、y、zの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=3\ \ ,\ \ x=y=z=\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
である。
(１)は、ほぼ当たり前のような気がしますが
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2010
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