第２問
平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BC、
CA、ABの長さをそれぞれa、b、cとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}}$ とおく。さらに、
辺BC、CA、ABをそれぞれs-c：s-b、s-a：s-c、s b：s-aに内分
する点をX、Y、Zとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
(１) 点N を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}=\frac{\left(s-a \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{s}\end{align*}}$
と定義するとき、3直線AX、BY、CZはNで交わることを示せ。
(２) Pを△ABCの内部の点、△PBC、△PCA、△PABの面積をそれぞれ
SA、SB、SCとするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{S_A\overrightarrow{\sf OA}+S_B\overrightarrow{\sf OB}+S_C\overrightarrow{\sf OC}}{S_A+S_B+S_C}\end{align*}}$
と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、a、b、cを用いて表せ。
(３) △ABCの重心をGとする。点NがQとGを通る直線上にあるとき、
△ABCは2等辺三角形であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Xは辺BCをs-c：s-bに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AX}=\overrightarrow{\sf OX}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{\left(s-b \right)+\left(s-c \right)}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-a\overrightarrow{\sf OA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{a}\ \ \ \left(\because\ s=\frac{a+b+c}{2} \right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AN}=\frac{\left(s-a \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{s}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-a\overrightarrow{\sf OA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{s}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{s}\ \overrightarrow{\sf AX}\end{align*}}$
となるので、点Nは直線AX上にある。
同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BN}=\frac{b}{s}\ \overrightarrow{\sf BY}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CN}=\frac{c}{s}\ \overrightarrow{\sf CZ}\end{align*}}$
となるので、点Nは直線BYおよび直線CZ上にある。
よって、3直線AX、BY、CZはNで交わる。
(２)
△QBC、△QCA、△QABの面積をそれぞれSA、SB、SCとする。
△ABCの外接円の半径をRとすると、∠BQC=2∠Aなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_A=\frac{1}{2}R^2\sin 2A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =R^2\sin A\cos A\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =R^2\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\end{align*}}$ ←正弦定理・余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{Ra\left(b^2+c^2-a^2\right)}{4bc}\end{align*}}$
同様に計算すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_B=\frac{Rb\left(c^2+a^2-b^2\right)}{4ca}\ \ ,\ \ S_C=\frac{Rc\left(a^2+b^2-c^2\right)}{4ab}\end{align*}}$ ．
△ABCは鋭角三角形なので、外心Qは△ABCの内部にある。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{S_A\overrightarrow{\sf OA}+S_B\overrightarrow{\sf OB}+S_C \overrightarrow{\sf OC}}{S_A+S_B+S_C}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{Ra\left(b^2+c^2-a^2\right)}{4bc}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{Rb\left(c^2+a^2-b^2\right)}{4ca}\ \overrightarrow{\sf OB}+\frac{Rc\left(a^2+b^2-c^2\right)}{4ab}\ \overrightarrow{\sf OC}}{\frac{Ra\left(b^2+c^2-a^2\right)}{4bc}+\frac{Rb\left(c^2+a^2-b^2\right)}{4ca}+\frac{Rc\left(a^2+b^2-c^2\right)}{4ab}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)\overrightarrow{\sf OA}+b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)\overrightarrow{\sf OB}+c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\overrightarrow{\sf OC}}{a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)+b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)+c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)} }\end{align*}}$
(３)
以下、重心Gが原点と一致するように平行移動して考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf GA}+\overrightarrow{\sf GB}+\overrightarrow{\sf GC}}{3}=\overrightarrow{\sf GG}=\overrightarrow{\sf 0}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf GC}=-\overrightarrow{\sf GA}-\overrightarrow{\sf GB}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GQ}=\frac{S_A\overrightarrow{\sf GA}+S_B\overrightarrow{\sf GB}+S_C \overrightarrow{\sf GC}}{S_A+S_B+S_C}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(S_A-S_C\right)\overrightarrow{\sf GA}+\left(S_B-S_C\right)\overrightarrow{\sf GB}}{S_A+S_B+S_C}\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GN}=\frac{\left(s-a \right)\overrightarrow{\sf GA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf GB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf GC}}{s}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(c-a \right)\overrightarrow{\sf GA}+\left(c-b \right)\overrightarrow{\sf GB}}{s}\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
点NがQとGを通る直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GQ}=k\ \overrightarrow{\sf GN}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(S_A-S_C\right)\overrightarrow{\sf GA}+\left(S_B-S_C\right)\overrightarrow{\sf GB}}{S_A+S_B+S_C}=k\cdot \frac{\left(c-a \right)\overrightarrow{\sf GA}+\left(c-b \right)\overrightarrow{\sf GB}}{s}\end{align*}}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GB}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数の比を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(S_A-S_C\right):\left(S_B-S_C \right)=\left(c-a \right):\left(c-b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(S_C-S_A \right)\left(b-c \right)-\left(S_B-S_C \right)\left(c-a \right)=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
ここで(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_C-S_A=\frac{R}{4abc}\left\{c^2\left(a^2+b^2-c^2 \right)-a^2\left(b^2+c^2-a^2 \right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{R}{4abc}\left(a^4-c^4-a^2b^2+b^2c^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{R}{4abc}\left\{-\left(c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2 \right)+b^2\left(c^2-a^2 \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{R}{4abc}\left(c-a\right)\left(c+a \right)\left(b^2-c^2-a^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_B-S_C=\frac{R}{4abc}\left(b-c\right)\left(b+c \right)\left(a^2-b^2-c^2 \right)\end{align*}}$
となるので、(ⅱ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(c-a \right)\left(b-c \right)\left\{ \left(c+a \right)\left(b^2-c^2-a^2 \right)-\left(b+c \right)\left(a^2-b^2-c^2 \right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(c-a \right)\left(b-c \right)\left\{ a^3+\left(b+2c \right)a^2-\left(b^2-c^2 \right)a-b\left(b+c \right)^2\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(c-a \right)\left(b-c \right)\left(a-b\right)\left\{ a^2+2\left(b+c \right)a+\left(b+c \right)^2\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(c-a \right)\left(b-c \right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)^2=0\end{align*}}$
と変形できる。
a+b+c＞0より、
a=b または b=c または c=a
なので、△ABCは二等辺三角形である。
計算がエグイことになってますｗｗｗ
(２)の分母は更に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)+b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)+c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=-\left\{a^4-2\left(b^2+c^2 \right)a^2+b^4-2b^2c^2+c^4 \right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=-\left\{a^4-2\left(b^2+c^2 \right)a^2+\left(b^2-c^2\right)^2 \right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=-\left\{a^4-2\left(b^2+c^2 \right)a^2+\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)^2 \right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=-\left\{a^2-\left(b+c \right)^2\right\}\left\{a^2-\left(b-c\right)^2 \right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=\left(a+b+c \right)\left(-a+b+c \right)\left(a-b+c \right)\left(a+b-c \right)}\end{align*}}$
と因数分解できます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:28:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
