第１問
△ABCはAB=ACの2等辺三角形とする。Dを辺BC上の点とし、
ADの延長線が△ABCの外接円と交わる点をPとする。
次の問いに答えよ。
(１) AP=BP+CPであるとき、△ABCは正三角形であることを示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{BP}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{DP}\end{align*}}$ であるとき、△ABCは正三角形であることを示せ。
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【解答】
(１)
∠ABC=ACB=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、∠BAP=$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、∠CAP=$\scriptsize\sf{\beta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta+\alpha+\beta=\pi\end{align*}}$ ……(#)
であり、円周角の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle APB=\angle APC=\theta\ \ ,\ \ \angle PBC=\alpha\ \ ,\ \ \angle ACB=\beta\end{align*}}$ ．
△ABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=2R\sin\angle ABP=2R\sin\left(\theta+\alpha \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP=2R\sin\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CP=2R\sin\beta=2R\sin\left(2\theta+\alpha \right)\end{align*}}$ ←(#)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=BP+CP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2R\sin\left(\theta+\alpha \right)=2R\sin\alpha+2R\sin\left(2\theta+\alpha \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha=\sin\alpha+\sin2\theta\cos\alpha+\cos2\theta\sin\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sin 2\theta-\sin\theta \right)\cos\alpha-\left(\cos 2\theta -\cos\theta+1\right)\sin\alpha\end{align*}}$ ．
この式が任意の$\scriptsize\sf{\alpha}$ （0＜$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ -2$\scriptsize\sf{\theta}$ ）に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin 2\theta-\sin\theta=0\end{align*}}$ ……(ⅰ) かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\theta -\cos\theta+1=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
が成り立つ。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta\left(2\cos\theta-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{1}{2}\ \ \ \left(\because\ 0<\sin\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{3}\ \ \ \left(\because\ 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{2\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}+1=0\end{align*}}$
となり、(ⅱ)も満たす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle ABC=\angle ACB=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
となるので、△ABCは正三角形である。
(２)
△ABP∽△CDPより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP:DP=AP:CP\ \ \Leftrightarrow\ \ BP\times CP=AP\times DP\end{align*}}$ ……(ⅲ)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{BP}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{DP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(BP+CP \right)\times DP=BP\times CP=AP\times DP\end{align*}}$ ←(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ BP+CP=AP\ \ \ \left(\because\ DP>0 \right)\end{align*}}$
(１)より、△ABCは正三角形となる。
試験場で これは嫌な問題でしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:27:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2011
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