第４問
aを実数とする。また、関数f(x)をx＞1の範囲において
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{-a}\left\{\log \left(x+1 \right)-\log\left(x-1 \right)\right\}\end{align*}}$
で定義する。
(１) 関数f(x)が単調減少であるためのaの条件を求めよ。
(２) 級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{\infty}f\left( n\right)\end{align*}}$ が正の無限大に発散するようなaの条件を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{-a}\left\{\log \left(x+1 \right)-\log\left(x-1 \right)\right\}\ \ \ \left( x>1\right)\end{align*}}$
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-ax^{-a-1}\left\{\log \left(x+1 \right)-\log\left(x-1 \right)\right\}+x^{-a}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^{-a-1}\left\{a\log \left(x+1 \right)-a\log\left(x-1 \right)-\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1} \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^{-a-1}\left\{a\log \left(x+1 \right)-a\log\left(x-1 \right)-\left(1-\frac{x}{x+1}\right)+\left(1+\frac{x}{x-1} \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^{-a-1}\left\{a\log \left(x+1 \right)-a\log\left(x-1 \right)+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} \right\}\end{align*}}$
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=a\log \left(x+1 \right)-a\log\left(x-1 \right)+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\ \ \ \left( x>1\right)\end{align*}}$
とおくと、f(x)が単調減少であるためには、x＞1でつねにh(x)＞0で
あればよい。
h(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{a}{x+1}-\frac{a}{x-1}-\frac{1}{\left(x+1 \right)^2}-\frac{1}{\left(x-1 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\cdot\frac{\left(a+1 \right)x^2-a+1}{\left(x+1 \right)^2\left(x-1 \right)^2}\end{align*}}$
(ⅰ) a≧1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}=\sqrt{1-\frac{2}{a+1}}<1\end{align*}}$
および
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(a\log\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\lim_{x\rightarrow\infty}\log\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}+0+0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\log 1=0\end{align*}}$
なので、h(x)の増減は次のようになる。
よって、x＞1でつねにh(x)＞0となる。
(ⅱ) -1≦a＜1のとき
x＞1でつねにh’(x)＞0となるので、(ⅰ)と同様に考えると、
x＞1でつねにh(x)＞0となる。
(ⅲ) a＜-1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}=\sqrt{1-\frac{2}{a+1}}>1\end{align*}}$
なので、h(x)の増減は次のようになる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\sqrt{\frac{a-1}{a+1}} \right)<0\end{align*}}$
なので、h(x)＜0となるxが存在する。
(ⅰ)～(ⅲ)より、f(x)が単調減少であるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a\geqq -1\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sum_{n=2}^{\infty}f\left( n\right)\end{align*}}$ とおく。
(Ⅰ) a≦0のとき
n≧2よりn-a≧1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (n)=\log\left(n+1 \right)-\log\left(n-1 \right)=\log\frac{n+1}{n-1}\end{align*}}$ ．
これは、n=2，3，…，Nに対して成り立つので、和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^Nf\ (n)\geqq \sum_{n=2}^N\log\frac{N+1}{N-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{3}{1}+\log\frac{4}{2}+\log\frac{5}{3}+\ldots +\log\frac{N}{N-2}+\log\frac{N+1}{N-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{3}{1}\cdot\frac{4}{2}\cdot\frac{5}{3}\cdot\ldots \cdot\frac{N}{N-2}\cdot\frac{N+1}{N-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{N\left(N+1\right)}{2}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty} \log\frac{N\left(N+1\right)}{2}=+\infty\end{align*}}$
なので、級数Sは正の無限大に発散する。
(Ⅱ) a＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \log x\right)'=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log\left( n+1\right)-\log\left(n-1 \right)}{\left( n+1\right)-\left(n-1 \right)}=\frac{1}{c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\left( n+1\right)-\log\left(n-1 \right)=\frac{2}{c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f(n)=\frac{2}{cn^a}\end{align*}}$
となるcがn-1＜c＜n+1の範囲に存在する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(n)=\frac{2}{cn^a}<\frac{2}{\left(n-1 \right)n^a}<\frac{2}{\left(n-1 \right)^{a+1}}\end{align*}}$
となり、これはn=2，3，…，Nに対して成り立つので、和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^Nf\ (n)< \sum_{n=2}^N\frac{2}{\left(n-1 \right)^{a+1}}=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$ ……(#)
ここで、自然数nに対してn≦x＜n+1となる実数xを考えると
a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\left(n+1 \right)^{a+1}}<\frac{2}{x^{a+1}}\leqq\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$
であり、これはn≦x＜n+1の範囲で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_n^{n+1}\frac{2}{\left(n+1 \right)^{a+1}}dx<\int_n^{n+1}\frac{2}{x^{a+1}}dx\leqq\int_n^{n+1}\frac{2}{n^{a+1}}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{\left(n+1 \right)^{a+1}}<\int_n^{n+1}\frac{2}{x^{a+1}}dx\leqq\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$ ．
この不等式はn=1，2，…，N-1に対して成り立つので、和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{\left(n+1 \right)^{a+1}}<\sum_{n=1}^{N-1}\int_n^{n+1}\frac{2}{x^{a+1}}dx\leqq\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{n=2}^{N}\frac{2}{n^{a+1}}<\int_1^{N}\frac{2}{x^{a+1}}dx\leqq\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^{N}\frac{2}{x^{a+1}}dx\leqq\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n^{a+1}}<2-\frac{2}{N^{a+1}}+\int_1^{N}\frac{2}{x^{a+1}}dx\end{align*}}$ ．
これと(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{\infty}f\ (n)< \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n^{a+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\lim_{N\rightarrow\infty}\left(2-\frac{2}{N^{a+1}}+\int_1^{N}\frac{2}{x^{a+1}}dx \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-0+\lim_{N\rightarrow\infty}\int_1^{N}\frac{2}{x^{a+1}}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\lim_{N\rightarrow\infty}\left[-\frac{2}{ax^a} \right]_1^{N}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\lim_{N\rightarrow\infty}\left(-\frac{2}{aN^a} +\frac{2}{a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\frac{2}{a}\end{align*}}$
となるので、級数Sは正の無限大に発散しない。
(Ⅰ)、(Ⅱ)よりSが正の無限大に発散するための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a\leqq 0\ }\end{align*}}$
である。
これは(１)、(２)とも厳しいですねぇ・・・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/13(土) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2012
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