第２問
箱の中に1、2、3の数字が書かれたカードが1枚ずつ、合計で3枚
入っている。また箱の外に1が書かれたカードを2枚、2が書かれた
カードを1枚用意しておく。いま、箱の中からカードを1枚取り出し、
外にあるカード1枚と交換して箱に戻すという試行を考える。
ただし、交換は以下のルールで行う。
・取り出されたカードが1の場合は，交換せずに箱に戻す。
・それ以外の場合は、取り出したカードに書かれている数字より
1小さい数の書かれているカードと交換し、箱に戻す。
第k回目の試行の後に、箱の中のカードに書かれてある数字が、
1，m，n （ただし1≦m≦n≦3とする）となる確率を P1,m,n(k) と
書く。ただし k は自然数とする。
(１) P1,1,2(k)およびP1,1,3(k)をkを用いて表せ。
(２) 0＜q＜1に対して$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^{k-1}\end{align*}}$ をqを用いて表せ。
ただし $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^2q^t=0\end{align*}}$ であることは用いてよい。
(３) 箱の中のカードに書かれてある数字が、第k回目の試行の後で
初めて全て1となる確率を rkとする。このとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k\ r_k\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^{n}kq^{k-1}\ \ ,\ \ T_n=\sum_{k=1}^{n}k^2q^{k-1}\end{align*}}$
とおく。
【Snについて】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=1+2q+3q^2+\ldots +nq^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf qS_n=\ \ \ \ \ \ \ q+2q^2+\ldots +(n-1)q^{n-1}+nq^n\end{align*}}$
辺々を引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-q \right)S_n=1+q+q^2+\ldots +q^{n-1}-nq^n=\frac{1-q^n}{1-q}-nq^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=\frac{1-q^n}{\left(1-q\right)^2}-\frac{nq^n}{1-q}\end{align*}}$
ここで、0＜q＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ nq^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\underline{\ \frac{1}{\left( 1-q\right)^2} \ }\end{align*}}$
【Tnについて】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=1^2+2^2q+3^2q^2+\ldots +n^2q^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf qT_n=\ \ \ \ \ \ \ \ \ q+2^2q^2+\ldots +(n-1)^2q^{n-1}+n^2q^n\end{align*}}$
辺々を引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-q \right)T_n=1+\left(2^2-1^2 \right)q+\left(3^2-2^2 \right)q^2+\ldots \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\left\{n^2-\left(n-1 \right)^2 \right\}q^{n-1}-n^2q^n\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-q \right)T_n=1+3q+5q^2+\ldots +\left(2n-1 \right)q^{n-1}-n^2q^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q\left(1-q \right)T_n=\ \ \ \ \ \ q+3q^2+\ldots +\left(2n-3 \right)q^{n-1}+\left(2n-1 \right)q^{n}-n^2q^{n+1}\end{align*}}$
さらにこれら2式の辺々を引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( 1-q\right)^2T_n=1+2q+2q^2+\ldots +2q^{n-1}-\left(n^2+2n-1 \right)q^n+n^2q^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1+2\left(1+q+q^2+\ldots +q^{n-1}\right)-\left(n^2+2n-1 \right)q^n+n^2q^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1+2\cdot\frac{1-q^n}{1-q}-\left(n^2+2n-1 \right)q^n+n^2q^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ T_n=-\frac{1+\left(n^2+2n-1 \right)q^n-n^2q^{n+1}}{\left( 1-q\right)^2}+\frac{2\left(1-q^n\right)}{\left(1-q\right)^3}\end{align*}}$ ．
ここで、0＜q＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ nq^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2q^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^{k-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}T_n=-\frac{1}{\left(1-q \right)^2}+\frac{2}{\left(1-q \right)^3}=\underline{\ \frac{1+q}{\left( 1-q\right)^3} \ }\end{align*}}$
(１)
k回目の試行の後に箱の中に1，2，3のカードが残っているのは、
k回とも1のカードを取り出すときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{1,2,3}\left(k \right)=\left( \frac{1}{3}\right)^k\end{align*}}$ ．
自然数kに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k=P_{1,1,3}\left(k \right)\ \ ,\ \ b_k=P_{1,2,2}\left(k \right)\ \ ,\ \ c_k=P_{1,1,2}\left(k \right)\end{align*}}$
とおくと、箱の中のカードは下図のように変化するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=b_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
【akについて】
上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\frac{2}{3}\ a_k+\frac{1}{3}\ P_{1,2,3}\left(k \right)=\frac{2}{3}\ a_k+\left( \frac{1}{3}\right)^{k+1}\end{align*}}$
両辺に3k+1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{k+1}a_{k+1}=2\cdot 3^k a_k+1\ \ \Leftrightarrow\ \ 3^{k+1}a_{k+1}+1=2\left(3^{k}a_{k}+1 \right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列{3kak}は等比数列をなす。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{k}a_{k}+1=2^{k-1}\left(3^{1}a_{1}+1 \right)=2^k\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\left( \frac{2}{3}\right)^k-\left( \frac{1}{3}\right)^k\end{align*}}$
【bkについて】
上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{k+1}=\frac{1}{3}\ b_k+\frac{1}{3}\ P_{1,2,3}\left(k \right)=\frac{1}{3}\ b_k+\left( \frac{1}{3}\right)^{k+1}\end{align*}}$
両辺に3k+1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{k+1}b_{k+1}=3^k b_k+1\end{align*}}$
と変形できるので、数列{3kbk}は公差1の等差数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{k}b_{k}+1=3^{1}b_{1}+\left(n-1 \right)=k\ \ \Leftrightarrow\ \ b_k=k\left( \frac{1}{3}\right)^k\end{align*}}$
【ckについて】
上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{k+1}=\frac{2}{3}\ c_k+\frac{1}{3}\ a_k+\frac{2}{3}\ b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\ c_k+\frac{1}{3}\left\{\left( \frac{2}{3}\right)^k-\left( \frac{1}{3}\right)^k \right\}+\frac{2}{3}k\left( \frac{1}{3}\right)^k\end{align*}}$
両辺に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2} \right)^{k+1}\end{align*}}$ をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2} \right)^{k+1}c_{k+1}-\left(\frac{3}{2} \right)^{k}\ c_k=\frac{1}{2}\left\{1-\left( \frac{1}{2}\right)^k +k\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、この式の右辺は数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\left(\frac{3}{2} \right)^{k}\ c_k \right\}\end{align*}}$ の
階差数列となる。よって、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2} \right)^{k}\ c_k=\frac{3}{2}\ c_1+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k-1}\left\{1-\left( \frac{1}{2}\right)^j +j\left( \frac{1}{2}\right)^{j-1}\right\}\end{align*}}$
ここで、(２)のSnと同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{j=1}^{k-1}j\left( \frac{1}{2}\right)^{j-1}=\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{\left(k-1\right)\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}}{1-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4-\left(2k+2 \right)\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2} \right)^{k}\ c_k=0+\frac{1}{2}\left\{\left(k-1 \right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}}{1-\frac{1}{2}} +4-\left(2k+2 \right)\left( \frac{1}{2}\right)^{k-1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c_k=\frac{1}{2}\left( k+2\right)\left( \frac{2}{3}\right)^k-\left( 2k+1\right)\left( \frac{1}{3}\right)^k\end{align*}}$
これはk=1のときも満たす。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_{1,1,2}\left(k \right)=\frac{1}{2}\left( k+2\right)\left( \frac{2}{3}\right)^k-\left( 2k+1\right)\left( \frac{1}{3}\right)^k\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_{1,1,3}\left(k \right)=\left( \frac{2}{3}\right)^k-\left( \frac{1}{3}\right)^k\ }\end{align*}}$
(３)
k回目の試行で初めてカードが1，1，1になるのは、
k-1の試行が終わった段階でカードが1，1，2であり、かつ
k回目の試行で2のカードを取り出す場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_k=\frac{1}{3}\ P_{1,1,2}\left(k-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}\left\{ \left(k-1\right)+2\right\}\left( \frac{2}{3}\right)^{k-1}-\left\{ 2\left(k-1\right)+1\right\}\left( \frac{1}{3}\right)^{k-1} \right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(k+1\right)\left( \frac{2}{3}\right)^{k-1}-\frac{1}{3}\left(2k-1\right)\left( \frac{1}{3}\right)^{k-1} \end{align*}}$
よって、(２)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k\ r_k=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{\infty}k^2\left( \frac{2}{3}\right)^{k-1}+\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{\infty}k\left( \frac{2}{3}\right)^{k-1}-\frac{2}{3}\sum_{k=1}^{\infty}k^2\left( \frac{1}{3}\right)^{k-1}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}k\left( \frac{1}{3}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot\frac{1+\frac{2}{3}}{\left(1-\frac{2}{3} \right)^3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{2}{3} \right)^2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1+\frac{1}{3}}{\left(1-\frac{1}{3} \right)^3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3} \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{27}{4}\ }\end{align*}}$
これは面倒ですな。
(１)のP1,1,3(k)と(２)ぐらいは解きたいものです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/13(土) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2012
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