第1問
Oを原点とする座標平面上に点A(-3，0)をとり、$\small\sf{\sf 0^{\circ}\lt\theta\lt 120^{\circ}}$
の範囲にある$\small\sf{\theta}$ に対して、次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をみたす2点B、C
を考える。
(ⅰ) Bはy＞0の部分にあり、OB=2かつ∠AOB=180°-$\small\sf{\theta}$
である。
(ⅱ) Cはy＜0の部分にあり、OC=1かつ∠BOC=120°である。
ただし△ABCはOを含むものとする。
以下の問(1)、(2)に答えよ。
(1) △OABと△OACの面積が等しいとき、$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\lt 0^{\circ}\theta\lt 120^{\circ}}$ の範囲で動かすとき、△OABと△OACの
面積の和の最大値と、そのときのsin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle AOC=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\theta \right)-120^{\circ}=\theta +60^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot\sin\left(180^{\circ}-\theta \right)=3\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1\cdot\sin\left(\theta +60\right)=\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\end{align*}}$ ←加法定理より
(1)
△OAB=△OACなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sin\theta=\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3\sin\theta-\sqrt3\ \cos\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt3\sin\left(\theta-30^{\circ}\right)=0\end{align*}}$ ←合成
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=30^{\circ}\ \ \ \ \left(\because\ 0^{\circ}<\theta<120^{\circ} \right)\ }\end{align*}}$
(2)
△OABと△OACの面積の和をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=3\sin\theta+\left(\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\left(5\sin\theta+\sqrt3\ \cos\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt7}{2}\sin\left(\theta +t \right)\end{align*}}$ ←合成
となる。ただし、tは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos t=\frac{5\sqrt7}{14}\ \ ,\ \ \sin t=\frac{\sqrt{21}}{14}\ \ ,\ \ 0^{\circ}\lt t<90^{\circ}\end{align*}}$
を満たす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0^{\circ}\lt t<\theta +t<120^{\circ}+t<210^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta +t=90^{\circ}\end{align*}}$
のとき、Sは最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{3\sqrt7}{2}\ }\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sin\left(90^{\circ}-t \right)=\cos t=\underline{\ \frac{5\sqrt7}{14}\ }\end{align*}}$
それほど難しくないですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/23(金) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2010
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