第３問
原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点A、xy平面上の点B、z軸上の
点Cを、次をみたすように定める。
∠OAC=∠OBC=$\small\sf{\theta}$ 、 ∠AOB=2$\small\sf{\theta}$ 、 OC=3
ただし、Aのx座標、Bのy座標、Cのz座標はいずれも正であるとする。
さらに、△ABC内の点のうち、O からの距離が最小の点をHとする。また、
t=tan$\small\sf{\theta}$ とおく。
(１) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(２) H のz座標をtの式で表せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\sqrt{\frac{1}{\tan^2\theta+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\ (>0)\end{align*}}$ ……(#)
∠OAC=∠OBC=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、OC=3より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=\frac{OC}{\tan\theta}=\frac{3}{t}\end{align*}}$
となり、△OABは頂角2$\scriptsize\sf{\theta}$ の二等辺三角形なので、
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=OA\cos\theta=\frac{3}{t\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$ ←(#)より
また、△OAC≡△OBCなので、四面体COABは、
平面OCMについて対称なので、Oから平面ABCに下ろした
垂線の足Hは、OからCMに下ろした垂線の足と一致する。
∠OCM=∠HOM=$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\frac{OM}{OC}=\frac{1}{t\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan^2\alpha}+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\tan^2\alpha}+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH=OC\sin\alpha=\underline{\ \frac{3}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\ }\end{align*}}$
(２)
Hからxy平面に下ろした垂線の足をDとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf HD=OH\sin\alpha=\frac{3}{t^4+t^2+1}\end{align*}}$ ．
よって、Hのz座標（＞0）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\underline{\ \frac{3}{t^4+t^2+1}\ }\end{align*}}$ ．
立体の対称性に気づかないと、とんでもないことになります！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/15(木) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2010
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