第１問
図はある三角錐Vの展開図である。ここでAB=4、AC=3、BC=5、
∠ACD=90°で△ABE は正三角形である。このとき、Vの体積
を求めよ。
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【解答】
△ABCにおいて
AB2+AC2=BC2
が成り立つので、∠BAC=90°である。
展開図を組み立てたとき、3点D、E、Fが重なる点をPとおく。
xyz座標空間内に、
A(0，0，0)、B(4，0，0)、C(0，3，0)
と配置すると、AC(y軸）⊥CDなので、点Pの座標は(X，3，Z)
と表すことができる。ここで、Z＞0としておく。
△ABP（ABE)は一辺4の正角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=X^2+3^2+Z^2=4^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP^2=\left( X-4\right)^2+3^2+Z^2=4^2\end{align*}}$
であり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=2\ \ ,\ \ Z=\sqrt3\ (>0)\end{align*}}$
よって、三角錐Vの体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\cdot Z\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\right)\cdot \sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt3\ }\end{align*}}$
理系との共通問題です。いろいろな解き方がありそうですが、
これが一番楽だと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/03(土) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2009
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