第２問
直角三角形△ABCにおいて∠Bは直角であるとし、辺ACの長さをa
とする。辺ACをn等分し、その分点をAに近い方から順にD1、D2、
D3、……、Dn-1とおく。1≦k≦n-1に対し、線分BDkの長さをLkと
する。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(L_k \right)^2\end{align*}}$ をaとnで表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{n}\end{align*}}$ をaで表せ。
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【解答】
(１)
AB=cとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{a}\end{align*}}$ ……(#)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD_k=\frac{ka}{n}\ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,n-1 \right)\end{align*}}$
なので、△ABDkに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( L_k\right)^2=AB^2+AD_k^2-2AB\cdot AD_k\cdot\cos A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c^2+\left(\frac{ka}{n} \right)^2-2c\cdot\frac{ka}{n}\cdot\frac{c}{a}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{n^2}\ k^2-\frac{2c^2}{n}\ k+c^2\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(L_k \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{a^2}{n^2}\ k^2-\frac{2c^2}{n}\ k+c^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{n^2}\cdot\frac{1}{6}n\left(n-1 \right)\left(2n-1 \right)-\frac{2c^2}{n}\cdot\frac{1}{2}n\left(n-1 \right)+c^2\left(n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a^2\left(n-1 \right)\left(2n-1 \right)}{6n}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2\left(n-1 \right)\left(2n-1 \right)}{6n^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(2-\frac{1}{n} \right)}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\cdot\frac{1\cdot 2}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a^2}{3}\ }\end{align*}}$
(１)は何にも考えずに計算しましたが、上手くcが消えましたね（笑）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/03(土) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2009
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