第１問
次の小問の に適する数を解答欄に記せ。
(１) 1から10までの整数をそれぞれ記した10枚のカードがある。
これらのカードのうちから、2枚を同時に無作為に抜き取り、
これら2枚のカードに記された二つの数の積を得点とする。
このとき、得点の期待値は である。
(２) 四辺形ABCDにおいて、∠A=60°、∠B=75°、DA=1、
AB=2、BC=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ であるとき、この四辺形の面積は で
ある。
(３) 座標平面藍の四点A(2，0，-1)、B(0，-1，1)、C(-2，-3，3)、
D(1，-3，-1)に対し、二直線AB、CDのなす角を$\small\sf{\theta\ \ (0^{\circ}\leqq\theta\leqq 180^{\circ})}$
とするとき、$\small\sf{\sin\theta}$ = である。
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【解答】
(１)
2枚カードの選び方の総数は、10C2通り。
1～10の中の異なる2数の積の総和をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}\bigg\{\left(1+2+\ldots +10 \right)^2-\left(1^2+2^2+\ldots +10^2 \right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg\{\left( \sum_{k=1}^{10}k\right)^2-\sum_{k=1}^{10}k^2\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg\{\left( \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 11\right)^2-\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11\cdot 21\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1320\end{align*}}$ ．
よって、求める期待値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1320}{_{10}C_2}=\underline{\ \frac{88}{3}\ }\end{align*}}$
(２)
AB=1、AD=2、∠A=60°より
∠ADB=90°、∠ABD=30°
BD=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$
∠CBD=75-30=45°
よって、四辺形ABCDの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\triangle ABD+\triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot \sqrt2\cdot\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \sqrt3\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm AB}=\left(-2,-1,2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm CD}=\left(3,0,-4 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( \frac{\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}}{|\overrightarrow{\rm AB}||\overrightarrow{\rm CD}|}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( \frac{-6+0-8}{\sqrt{4+1+4}\ \sqrt{9+0+16}}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( -\frac{14}{15}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{\sqrt{29}}{15}\ }\end{align*}}$
(１)のSの求め方
上は1～10の2数の積を表にまとめたもので、
Sは水色部分の数の総和となります。
水色部分=緑色部分 なので、
S=(全体－ピンク)÷2
として求めることができます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/02(火) 04:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2002
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