2003京都府立医科大 数学４

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【解答】

　(１)
　　　球面Tの中心（Pとする）がxz平面内のx＞0、z＞0の部分に
　　　あるので、Pのz座標は半径rに等しい。
　　　よって、Pの座標をは正数pを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p\ ,\ 0\ ,\ r \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　
　　　Tと平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ および$\scriptsize\sf{\beta}$ との接点をそれぞれC、Dとし、
　　　z軸上に点O’(0，0，r)をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PC=PD=r\ \ ,\ \ PO'=p\end{align*}}$　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle PCO'=\angle PDO'=90^{\circ}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle PO'C=\angle PO'D=\theta\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=p\sin\theta\end{align*}}$　　　……(#)



　　　一方、Tとx軸との接点をH、SとTの接点をQとすると、
　　　Sもxz平面について対称なので、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=OQ-PQ=a-r\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=r\ \ \ ,\ \ OH=p\end{align*}}$
　　　△OPHに三平方の定理を適用すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a-r \right)^2=r^2+p^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+2ar-a^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+2a\left(\sin\theta\right)p-a^2=0\end{align*}}$　　　←(#)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=-a\sin\theta+\sqrt{a^2\sin^2\theta+a^2}\ \ \ (\gt 0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\ \ \ \ (\because\ a\gt 0)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\underline{\ a\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\sin\theta\ }\end{align*}}$　　　←(#)より


　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\ \frac{r}{\theta}=a\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\cdot 1\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\left( 1+\sin^2\theta\right)-\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta}+\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\cdot \frac{1}{\sqrt{1+0}+0}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ a\ }\end{align*}}$




　　これも例年の問題に比べるとずいぶん易しいです。
　　この年は、手が付けれないような難問が１問もないので、
　　ミスが命取りです。