① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\sqrt2\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-y^2=-1\end{align*}}$

　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{y^3}\end{align*}}$　　　　　　 ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\left(1+\sqrt2 \right)\end{align*}}$　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\log\left(1+\sqrt2 \right)\end{align*}}$


【解説】

　　①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t} \right)\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t} \right)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\bigg/\frac{dx}{dt}=\underline{\ \frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\ }\end{align*}}$

　　②
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3e^t-3e^{-t}=e^t+e^{-t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2e^t=4e^{-t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{2t}=2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{t}=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　これより、接点の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\left(\sqrt2-\frac{1}{\sqrt2} \right)=\frac{\sqrt2}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\left(\sqrt2+\frac{1}{\sqrt2} \right)=\frac{3}{4}\sqrt2\end{align*}}$
　　　　となるので、接線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{3}{4}\sqrt2=\frac{1}{3}\left(x- \frac{\sqrt2}{4}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\sqrt2\ }\end{align*}}$

　　③
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=\frac{1}{4}\left(e^{2t}-2+e^{-2t} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=\frac{1}{4}\left(e^{2t}+2+e^{-2t} \right)\end{align*}}$
　　　　であり、これら2式の差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x^2-y^2=-1\ }\end{align*}}$


　　④
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(e^t+e^{-t} \right)^2-\left(e^t-e^{-t} \right)^2}{\left(e^t+e^{-t} \right)^2}\cdot\frac{2}{e^t+e^{-t}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{\left(e^t+e^{-t} \right)^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{y^3}\ }\end{align*}}$


　　⑤
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t} \right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t-2-e^{-t}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{2t}-2e^t-1=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^t=1+\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\ \log\left(1+\sqrt2\right) \ }\end{align*}}$


　　⑥
　　　　曲線C、線分OPおよびy軸の位置関係は
　　　　右図のようになるので、囲まれる部分の
　　　　面積をSとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1y\ dx-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt2\end{align*}}$
　　　　として求めることができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t} \right)\ \ ,\ \ y=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t} \right)\end{align*}}$
　　　　と置換すると、x=0となるのはt=0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\log\left(1+\sqrt2 \right)}\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t} \right)\cdot\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t} \right)dt-\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\int_0^{\log\left(1+\sqrt2 \right)}\left(e^{2t}+2+e^{-2t} \right)dt-\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}e^{2t}+2t-\frac{1}{2}e^{-2t} \right]_0^{\log\left(1+\sqrt2 \right)}-\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log\left(1+\sqrt2 \right)\ }\end{align*}}$




　　④を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dt^2}\bigg/\frac{d^2x}{dt^2}\end{align*}}$
　　としないように！！