① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>1\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{11}{5}\lt a<-\frac{7}{4}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{25}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{41}{45}\end{align*}}$

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{7}{6}\pi\end{align*}}$　　　　


【解説】

　　①
　　　　関数f(x)を
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2+4ax-3a+7=\left(x+2a \right)^2-4a^2-3a+7\end{align*}}$
　　　　とおくと、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-2)=4-8a-3a+7<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a>1\ }\end{align*}}$

　　②
　　　　放物線y=f(x)とx軸が右図のような位置関係に
　　　　なればよい。
　　　　　・頂点のx座標
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2a>2\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-1\end{align*}}$
　　　　　・頂点のy座標
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4a^2-3a+7<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-\frac{7}{4}\ ,\ 1\lt a\end{align*}}$
　　　　　・　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (2)=4+8a-3a+7>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>-\frac{11}{5}\end{align*}}$
　　　　これらをすべて満たすようなaの値の範囲は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{11}{5}\lt a<-\frac{7}{4}\ }\end{align*}}$

　　③
　　　　1回目に取り出した2枚のカードの数の和は
　　　　右表のようになるので、これが3点、4点、
　　　　5点、6点になる確率はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{15}\ ,\ \frac{4}{15}\ ,\ \frac{6}{15}\ ,\ \frac{3}{15}\end{align*}}$
　　　　である。2回目に取り出した2枚のカードの
　　　　数の和についても同様。

　　　　得点が11点になるのは、
　　　　　　　(1回目，2回目)=(6点，5点)、(5点，6点)
　　　　の2通りの場合があるので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{15}\times\frac{6}{15}\times 2=\underline{\ \frac{4}{25}\ }\end{align*}}$


　　④
　　　　得点が7点になるのは、
　　　　　　　(1回目，2回目)=(3点，4点)、(4点，3点)
　　　　の2通りの場合があるので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{15}\times\frac{4}{15}\times 2=\frac{16}{225}\end{align*}}$
　　　　得点が7点になるのは、
　　　　　　　(1回目，2回目)=(3点，3点)
　　　　の場合なので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{15}\times\frac{2}{15}=\frac{4}{225}\end{align*}}$
　　　　得点が5点以下になることはないので、8点以上になる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{16}{225}-\frac{4}{225}=\underline{\ \frac{41}{45}\ }\end{align*}}$


　　⑤
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\sin\frac{\pi}{6}+\cos \pi=\frac{1}{2}-1=\underline{\ -\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$


　　⑥
　　　　加法定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\sin\theta\cos\frac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{6}-\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin\left( \theta-\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$　　　←合成
　　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \theta <2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{6}\leqq \theta-\frac{\pi}{6}<\frac{11}{6}\pi\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta-\frac{\pi}{6}=0\ ,\ \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{7}{6}\pi\ }\end{align*}}$



　　ここは簡単です。