第1問[A]
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{5}{2}\end{align*}}$ ≦x≦5で定義された2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{2x+5}\ \ ,\ \ C_2:\ y=\sqrt{5-x}\end{align*}}$
がある。点PはC1上にあり、そのx座標はt、点QはC2上にあり、
そのx座標はt+3である。ただし、-1≦t≦1とする。また、点P、
Qからそれぞれx軸に垂線を引き、交点をH1、H2とし、四角形
PH1H2Qの面積をS(t)とおく。
(1) S(0)を求めよ。また、S(t)をtを用いて表せ。
(2) S(t)の増減を調べて、S(t)の最大値と最小値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH_1=\sqrt{2t+5}\ ,\ QH_2=\sqrt{5-\left(t+3\right)}=\sqrt{2-t}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2t+5}+\sqrt{2-t}\right)\left\{\left(t+3\right)-t\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\left(\sqrt{2t+5}+\sqrt{2-t}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(0)=\underline{\ \frac{3}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
S(t)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{3}{2}\left\{\frac{1}{2\sqrt{2t+5}}\cdot 2+\frac{1}{2\sqrt{2-t}}\cdot\left(-1\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\cdot\frac{2\sqrt{2-t}-\sqrt{2t+5}}{\sqrt{2t+5}\sqrt{2-t}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\cdot\frac{4\left(2-t\right)-\left(2t+5\right)}{\sqrt{2t+5}\sqrt{2-t}\left(2\sqrt{2-t}+\sqrt{2t+5}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\cdot\frac{3-6t}{\sqrt{2t+5}\sqrt{2-t}\left(2\sqrt{2-t}+\sqrt{2t+5}\right)}\end{align*}}$
となるので、S(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)_{max}=S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\left(\sqrt6+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\underline{\ \frac{9\sqrt6}{4}\ }\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{3}{2}\left(\sqrt7+1\right)\right\}^2-\left(3\sqrt3\right)^2=\frac{9}{2}\left(\sqrt7-2\right)>0\end{align*}}$
なので、S(t)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)_{min}=S\left(-1\right)=\underline{\ 3\sqrt3\ }\end{align*}}$
まぁ、いつもの関大の問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015（2/5）
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