第3問
aを2以上の整数、pを2より大きい素数とする。ある正整数kに
対して等式
ap-1-1=pk
が成り立つのは、a=2、p=3の場合に限ることを証明せよ。
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【解答】
pは2より大きい素数なので3以上の奇数である。
よって、自然数Nを用いて p=2N+1 とおくと、与式は
a2N-1=pk
⇔ (aN-1)(aN+1)=pk
と変形できる。
pは素数なので、0以上の整数mを用いて
aN-1=pm
aN+1=pk-m
と表すことができ、これら2式の差をとると
2=pk-m-pm=pm(pk-2m-1)
pは3以上の奇数なので、
pm=1 ⇔ m=0
pk-2m-1=2 ⇔ pk=3 ⇔ p=3、 k=1.
このとき、aは自然数なので
aN-1=1 ⇔ aN=2 ⇔ a=2、 N=1.
以上より、a=2、p=3となるので、題意は示された。
これも解きやすいので、落とせません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/09/30(日) 00:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2015(後期)
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