第３問
条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
で定められる実数の列{an}について、以下の問いに答えよ。
(１) 極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$
が存在したと仮定したとき、aのとりうる値を求めよ。
(２) 自然数nと(１)で求めたaについて、次の各不等式が成り立つことを
証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ a_{2n}\lt a\lt a_{2n-1}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ a-a_{2n}\leqq\frac{1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ a_{2n-1}-a\leqq\frac{1}{2^{2n-2}}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
極限aが存在したとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{n+1}\end{align*}}$
なので、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2-a_n}=\sqrt{2-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\sqrt{2-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=2-a\ ,\ 0\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \underline{\ \ a=1\ (>0)\ }\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
数学的帰納法で示す。
(Ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}>1\ \ ,\ \ a_2=\sqrt{2-\frac{7}{4}}=\frac{1}{2}<1\end{align*}}$
なので成り立つ。
(Ⅱ) n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k}\lt 1\lt a_{2k-1}\end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+1}=\sqrt{2-a_{2k}}>\sqrt{2-1}=1\end{align*}}$
であり、さらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+2}=\sqrt{2-a_{2k+1}}<\sqrt{2-1}=1\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n}\lt a\lt a_{2n-1}\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)(ⅱ)
(#)より、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a_{n}\leqq 2\end{align*}}$
が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}=1-\sqrt{2-a_{2n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left( 1-\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left( 1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)}{ 1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1-a_{2n-1}}{1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1-\sqrt{2-a_{2n-2}}}{1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(1-\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}{\left(1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+a_{2n}\right)\left(1+a_{2n-1} \right)}\end{align*}}$ ……(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <1-a_{2n-2}\end{align*}}$ ←a2n＞0、a2n-1＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2n}>a_{2n-2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}=a_2\lt a_4\lt a_6\lt \ldots \lt a_{2n}\lt \ldots\end{align*}}$
となり、これと(２)(ⅰ)より、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\leqq a_{2n}<1\end{align*}}$
が成り立つ。
一方、0＜anより、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^{\ 2}=\left(\sqrt{2-a_n} \right)^2=2-a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=2-a_{n+1}^{\ 2}\end{align*}}$ ……(イ)
なので、(ア)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}=\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+a_{2n}\right)\left\{1+\left(2-a_{2n}^{\ 2} \right)\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\left(1+a_{2n}\right)\left(3-a_{2n}^{\ 2} \right)}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$ ……(ウ)
と変形できる。
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(1+x\right)\left(3-x^2 \right)=-x^3-x^2+3x+3\ \ \ \left(\frac{1}{2}\leqq x<1 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-3x^2-2x+3\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)≧4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left(1+a_{2n}\right)\left(1+a_{2n-1} \right)}=\frac{1}{f\left(a_{2n} \right)}\leqq\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
これと(ウ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n-2}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{4}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2} \right)\end{align*}}$
が成り立ち、これらを辺々かけ合わせると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}\leqq\frac{1}{4^{n-1}}\left(1-a_{2} \right)=\frac{1}{4^{n-1}}\left(1-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n-1}-1=\left(2-a_{2n}^{\ 2} \right)-1\end{align*}}$ ←(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-a_{2n}^{\ 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+a_{2n} \right)\left(1-a_{2n} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq\frac{1+a_{2n}}{2^{2n-1}}\end{align*}}$ ←(２)(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{1+1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$ ←(２)(ⅰ)より a2n＜1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{2n-2}}\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(２)(ⅱ)が大変です・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2015
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