第１問
次の各問いに答えよ。
(３) 曲線y=(x2-4)logｘ （x＞0）とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに
回転してできる立体の体積を求めよ。
(４) aを定数とする。0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{a}{2}\sin^2x-\sin x+cos x\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(ⅰ) y=g(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の増減を調べ、
グラフをかけ。
(ⅱ) y=f(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）が2つの極値を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
(ⅲ) 定数aが(ⅱ)で求めた範囲にあるとき、y=f(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の
2つの極値の和をaを用いて表せ。
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【解答】
(３)
曲線のx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x^2-4 \right)\log x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\ ,\ 1\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_1^2\bigg\{\left(x^2-4 \right)\log x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^2\left(x^4-4x^2+16 \right)\left(\log x \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ \left(\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x \right)\left(\log x \right)^2\right]_1^2-\int_1^2\left(\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x \right)\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\int_1^2\left(\frac{2x^4}{5}-\frac{16x^2}{3}+32 \right)\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\left[\left(\frac{2x^5}{25}-\frac{16x^3}{9}+32x \right)\log x\right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_1^2\left(\frac{2x^5}{25}-\frac{16x^3}{9}+32x \right)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\int_1^2\left(\frac{2x^4}{25}-\frac{16x^2}{9}+32 \right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\left[\frac{2x^5}{125}-\frac{16x^3}{27}+32x \right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\frac{95674}{3375}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\underline{\ \left\{\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\frac{95674}{3375} \right\}\pi\ }\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{a}{2}\sin^2x-\sin x+cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
(ⅰ)
0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、0＜sinｘ＜1、 0＜cosｘ＜1である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{\left(\cos x-\sin x \right)\sin x\cos x-\left(\sin x+\cos x \right)\left(\cos^2x-\sin^2x \right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3x -\cos^3x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sin x -\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x +\cos ^2x\right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sin x -\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
これよりg(x)の増減および、曲線y=g(x)の概形は次のようになる。
(ⅱ)
y=f(x)が2つの極値をもつためには、
f(x)=0となるxが2つ存在する必要が
ある。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=a\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=g\ (x)\end{align*}}$
これより、曲線y=g(x)と直線y=aが
異なる2つの共有点をもつので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>2\sqrt2\end{align*}}$
であればよい。
逆にこのとき、y=g(x)とy=aの2つの共有点のx座標をp、q （ｐ＜ｑ）
とすると、p、qは、方程式f’(x)=0の2解であり、その前後でf’(x)の
符号が変化するので、f(x)は、x=pおよびx=qにおいて極値をとる。
よって、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a>2\sqrt2\ }\end{align*}}$
である。
(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{\pi}{2}-p \right)=a\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\cos p\sin p-\sin p-\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ (p)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{\pi}{2}-p\end{align*}}$ ．
よって、f(x)の極大値と極小値の和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (p)+f (q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}\sin^2p-\sin p+\cos p \right)+\left\{\frac{a}{2}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-p \right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}\sin^2p-\sin p+\cos p \right)+\left(\frac{a}{2}\cos^2p-\cos p+\sin p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{2}\left(\sin^2p+\cos^2p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{2}\ }\end{align*}}$
(３)数値計算がひたすら面倒臭いです。
(４)(ⅲ) y=g(x)のグラフ対称性に気づかないと厳しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2015
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