第１問
以下の各問いに答えよ。
(１) ひし形ABCDの一辺の長さは2で、∠ABC=60°である。△ABCの
外接円をC1、△BCDの外接円をC2とするとき、C1の内部でありかつ
C2の内部である領域の面積を求めよ。
(２) 実数を係数とする3次方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^3-2\left(a+b\right)x^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)x-8\sqrt3=0\end{align*}}$
の3つの解がa、b、cであるという。このような複素数a、b、cを求めよ。
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【解答】
(１)
△ABCは正三角形になるので、
外心をOとすると、正弦定理より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=\frac{AB}{2\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
また、AB=AC=AD=2より
△BCDの外心はAとなる。
よって、C1の内部でありかつC2の
内部である領域（水色部分）の面積は
扇形ABC+{扇形OAB-△OAB}×2
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^2\pi\cdot\frac{1}{6}+\left\{ \left( \frac{2}{\sqrt3}\right)^2\pi\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt3} \right)^2\sin 120^{\circ}\right\}\times 2=\underline{\ \frac{14}{9}\pi-\frac{2}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
(２)
3次方程式の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+c=2\left(a+b \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ c=a+b\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2\end{align*}}$ ……(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abc=8\sqrt3\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab+b\left(a+b \right)+a\left(a+b \right)=a^2+b^2+\left(a+b \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab+\left(a+b \right)^2=\left\{\left(a+b \right)^2-2ab\right\}+\left(a+b \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=\frac{1}{3}\left(a+b \right)^2\end{align*}}$ ……(ⅳ)
(ⅰ)、(ⅳ)を(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abc=\frac{1}{3}\left(a+b \right)^2\cdot\left(a+b \right)=8\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b \right)^3=24\sqrt3=\left(2\sqrt3 \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a+b=2\sqrt3\ (=c)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{1}{3}\cdot\left(2\sqrt3 \right)^2=4\end{align*}}$ ．
2次方程式の解と係数の関係より、aとbはtについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2\sqrt3\ t+4=0\end{align*}}$
の2解 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt3 \pm i\end{align*}}$ となる。
よって、a、b、cの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\sqrt3\pm i\ \ ,\ \ b=\sqrt3\mp i\ \ ,\ \ c=2\sqrt3\ }\end{align*}}$ （複号同順）
この2問は外せません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2015
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