2015滋賀医科大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x\left(1-\cos x \right)-\sin\left(x+a \right)\ \ \ \ \ \left(2n\pi \lt x\lt 2n\pi+ \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=1-\cos x+x\sin x-\cos\left( x+a\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=2\sin x+x\cos x+\sin\left( x+a\right)\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n\pi \lt x\lt 2n\pi+ \frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ 0 \lt a\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　なので、常にf”(x)＞0となるので、f’(x)は単調に増加する。
　　　このことと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(2n\pi \right)=1-1+0-\cos a=-cos a\lt 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(2n\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1-0+\left(2n\pi +\frac{\pi}{2}\right)-\cos \left(a +\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1+2n\pi +\frac{\pi}{2}+\sin a\gt 0\end{align*}}$
　　　より、f’(x)=0となるxがただ1つ存在する。
　　　その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( 2n\pi\right)=-\sin a\lt 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=2n\pi+\frac{\pi}{2}+\cos a\gt 0\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、f(x)=0となるxがただ1つ存在するので、題意は示された。


　(２)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_n=x_n-2n\pi\ \ \ \ \left(0\lt y_n\lt \frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_n\left(1-\cos x_n \right)=\sin\left(x_n+a \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( y_n+2n\pi\right)\left\{1-\cos\left( y_n+2n\pi\right) \right\}=\sin\left( y_n+2n\pi +a\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y_n+2n\pi \right)\left(1-\cos y_n \right)=\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$　　　……(#)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\cos y_n=\frac{\sin\left(y_n+a \right)}{y_n+2n\pi }\end{align*}}$ ．

　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt \sin\left(y_n+a \right)\lt 1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{y_n+2n\pi }\lt 1-\cos y_n\lt \frac{1}{y_n+2n\pi }\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{y_n+2n\pi }=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1-\cos y_n\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\cos y_n=1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_n-2n\pi \right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　(#)の両辺に1+cosy_nをかけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(y_n+2n\pi \right)\left(1-\cos^2 y_n \right)=\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y_n+2n\pi \right)\sin^2 y_n =\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\ y_n^{\ 2}\left(\frac{y_n}{n}+2\pi \right)\cdot\left(\frac{\sin y_n}{y_n}\right)^2 =\left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}\left(\frac{y_n}{n}+2\pi \right)\cdot\left(\frac{\sin y_n}{y_n}\right)^2 =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1+\cos y_n \right)\sin\left(y_n+a \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}\cdot\left(0+2\pi \right)\cdot 1^2 =\left(1+\cos 0 \right)\sin a\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ y_n^{\ 2}=\frac{\sin a}{\pi}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(x_n-2n\pi \right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt{n}\ y_n=\underline{\ \sqrt{\frac{\sin a}{\pi}}\ }\end{align*}}$ ．





　　(３)は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1}\end{align*}}$ が使える形を無理矢理つくりましょう。