2015滋賀医科大 数学２

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【解答】

　　　A、Bにおける接線をそれぞれL₁、L₂とおくと、
　　　(x²)’=2xなので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_A:\ y-a^2=2a\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2ax-a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_B:\ y=2bx-b^2\end{align*}}$ ．
　　　これら2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2ax-a^2=2bx-b^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(b-a \right)x=b^2-a^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b^2-a^2}{2\left(b-a \right)}=\frac{a+b}{2}\ \ \ \ \left(\because\ a\ne b \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$
　　　よって、L₁、L₂の交点Cの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ ab \right)\end{align*}}$


　(１)
　　　a+b=0のとき、a＜bより、a=-b＜0＜bである。
　　　このとき、Cの座標は(0，-b²)となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=\left(-b\ ,\ 2b^2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CB}=\left(b\ ,\ 2b^2 \right)\end{align*}}$ ．
　　　∠ACB=60°なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=|\overrightarrow{\sf CA}||\overrightarrow{\sf CB}|\cos 60^{\circ}\end{align*}}$　　……①
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -b^2+4b^4=\left(\sqrt{b^2+4b^4 }\right)^2\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\left(4b^2-3 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \ \left(\because\ b>0 \right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、aの値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-b=\underline{\ -\frac{\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CB}=\left(b- \frac{a+b}{2}\ ,\ b^2-ab\right)=\frac{1}{2}\left(b-a\ ,\ 2b\left(b-a \right) \right)=\frac{b-a}{2}\left(1\ ,\ 2b \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=\left(a- \frac{a+b}{2}\ ,\ a^2-ab\right)=\frac{1}{2}\left(a-b\ ,\ 2a\left(a-b \right) \right)=-\frac{b-a}{2}\left(1\ ,\ 2a \right)\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\frac{b-a}{2}\end{align*}}$
　　　とおくと、a＜bより、k＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}=-k\left(1\ ,\ 2a \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CB}=k\left(1\ ,\ 2b \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。


　(３)
　　　①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf CA}||\overrightarrow{\sf CB}|>0\end{align*}}$
　　　なので、これに(２)を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}=-k^2\left(1+4ab \right)>0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab<-\frac{1}{4}\ \ \ \left(\because\ k>0 \right)\end{align*}}$　　……②

　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\ ,\ \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ がx軸正方向となす角を
　　　右図のようにそれぞれ$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とすると、
　　　　　　　　tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2a、　tan$\scriptsize\sf{\beta}$ =2b ．
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ -$\scriptsize\sf{\beta}$ =∠ACB=60°
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\left(\alpha-\beta \right)=\frac{2a-2b}{1+2a\cdot 2b}=\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\sqrt3ab-2a+2b+\sqrt3=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab-\frac{\sqrt3}{6}a+\frac{\sqrt3}{6}b+\frac{1}{4}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+\frac{\sqrt3}{6}\right)\left(b- \frac{\sqrt3}{6}\right)=-\frac{1}{3}<0\end{align*}}$　　……③
　　　③の不等式を満たすa、bの値の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a+\frac{\sqrt3}{6}>0\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b- \frac{\sqrt3}{6}<0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ a+\frac{\sqrt3}{6}<0\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b- \frac{\sqrt3}{6}>0\end{align*}}$
　　　の2通りの場合がある。
　　　(ⅰ)のときは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\sqrt3}{6}\lt a\lt b\lt\frac{\sqrt3}{6}\end{align*}}$
　　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{12}\lt ab\end{align*}}$
　　　　　となるが、これは②の条件を満たさない。
　　　(ⅱ)のときは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\lt -\frac{\sqrt3}{6}\ \ ,\ \ \frac{\sqrt3}{6}\lt b\end{align*}}$
　　　　　となり、このときは②を満たすようなa、bが存在する。
　　　よって、題意は示された。


　(４)
　　　③より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{\sqrt3}{6}-\frac{1}{3\left(a+\frac{\sqrt3}{6}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\sqrt3\left(6a+\sqrt3 \right)-12}{6\left(6a+\sqrt3 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2\sqrt3 a-3}{2\left(6a+\sqrt3 \right)}\ }\end{align*}}$



　　2直線のなす角を求めるには
　　　　・tanの加法定理を用いる　
　　　　・ベクトルの内積を用いる
　　の2通りの方法がありますが、この問題では両方を上手く使い分ける
　　必要があります。