2015滋賀医科大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+2ax-3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{1}{x^2}+2a\end{align*}}$ ．
　　　題意より、f(x)は、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ で変曲点をもつので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(\frac{1}{\sqrt2})=-2+2a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=1\ }\end{align*}}$ ．
　　　（このとき、f”(x)の符号はx=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ の前後で変化するので、
　　　　f(x)は確かにx=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ で変曲点をもつ）


　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\log x+x^2-3x\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{2x^2-3x+1}{x}=\frac{\left(2x-1 \right)\left(x-1 \right)}{x}\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　
　
　　　よって、曲線y=f(x)の概形は右図のようになる。

　　　方程式f(x)=kの異なる実数解の個数は、
　　　曲線y=f(x)と直線y=kの異なる共有点の
　　　個数に等しい。
　　　よって、

　　　　　k＜-2，A＜kのとき 1個
　　　　　k=-2，kのとき 2個
　　　　　-2＜k＜Aのとき 3個
　　　となる。（ただし、A=-log2-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{4}\end{align*}}$ ）


　(３)
　　　e＞2.7より　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2)=\log 2-2<0\end{align*}}$ ．
　　　よって、曲線y=f(x)とx軸、および2直線x=1、x=2で囲まれた部分は
　　　右図の水色部分であり、この部分の回転体の体積をVとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{V}{\pi}=\int_1^2\left(\log x+x^2-3x \right)^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_1^2\left\{ \left(\log x \right)^2+2\left(x^2-3x \right)\log x+x^4-6x^3+9x^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[x \left(\log x \right)^2+2\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2 \right)\log x+\frac{x^5}{x}-\frac{3}{2}x^4+3x^3\right]_1^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\int_1^2\left\{ x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}+2\left(\frac{x^3}{3}- \frac{3}{2}x^2\right)\cdot\frac{1}{x}\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{20}{3}\log 2+\frac{47}{10}-\int_1^2\left( 2\log x+\frac{2}{3}x^2- 3x\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{20}{3}\log 2+\frac{47}{10}-\bigg[2\left( x\log x-x\right)+\frac{2}{9}x^3-\frac{3}{2}x^2\bigg]_1^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(\log 2 \right)^2-\frac{32}{3}\log 2+\frac{434}{45}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ V=\left\{ 2\left(\log 2 \right)^2-\frac{32}{3}\log 2+\frac{434}{45}\right\}\pi\ }\end{align*}}$





　　(３)の計算が嫌です（笑）