青木ゼミ青木2009東北大　理系数学２

2009東北大　理系数学２

第２問

　　Lを2以上の自然数、aを0＜a＜1を満たす実数とする。縦1cm、
　　横(L+1)cmの長方形の紙を用いて、次のように長方形A、Bを作る。

　　長方形Aの作り方。L枚の紙を横に並べて、順に1辺1cmの正方形
　　をのりしろとして（隣り合う紙が横1cm重なるように）はり合わせ、
　　縦1cmの横長の長方形を作る。

　　　　　　

　　長方形Bの作り方。L枚の紙を縦に並べて、隣り合う紙が縦acm
　　重なるようにはり合わせて、横(L+1)cmの長方形を作る。
　　長方形A、Bの面積をそれぞれS₁cm²およびS₂cm²とおくとき、
　　以下の問いに答えよ。

　　　　　　　　　　　　

　(１) S₁とS₂を求めよ。

　(２) L=2のとき、S₁-1＜S₂となるaの範囲を求めよ。

　(３) S₁-1＜S₂となる2以上の自然数Lがあるようなaの範囲を
　　　求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　長方形Aの横の長さについて。
　　　紙を左から順に1枚目、2枚目、……と数えることにすると、
　　　　　　1枚目の左端から1枚目の右端までの長さはL+1
　　　　　　1枚目の右端から2枚目の右端までの長さはL　　
　　　　　　2枚目の右端から3枚目の右端までの長さはL　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　L-1枚目の右端からL枚目の右端までの長さはL
　　　よって、長方形Aの横の長さは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( L+1\right)+L\left(L-1 \right)=L^2+1\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_1=L^2+1\ }\end{align*}}$

　　　同様に考えると、長方形Bの縦の長さは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\left(1-a \right)\left(L-1 \right)=\left(1-a \right)L+a\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\left(L+1 \right)\left\{\left(1-a \right)L+a \right\}=\underline{\ \left(1-a \right)L^2+L+a\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1-1\lt S_2\ \ \Leftrightarrow\ \ L^2<\left(1-a \right)L^2+L+a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ aL^2-L-a\lt 0\end{align*}}$　　　……(#)
　　　L=2のとき、(#)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a-2-a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　となり、0＜a＜1なので、求めるaの値の範囲は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ lt a<\frac{2}{3}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　(#)の左辺をLの関数とみなしてf(L)とおく。
　　　a＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=-a<0\end{align*}}$
　　　なので、(#)を満たす2以上の自然数が
　　　存在するためには、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(2)=4a-2-a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　であればよい。これと0＜a＜1より、
　　　求めるaの値の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt a<\frac{2}{3}\ }\end{align*}}$

　　(１)は、植木算ってヤツですね。　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/10/28(日) 01:06:00|

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