第１問
a、b、cを実数とする。以下の問いに答えよ。
(１) a+b=cであるときa3+b3+3abc=c3 が成り立つことを示せ。
(２) a+b≧cであるときa3+b3+3abc≧c3 が成り立つことを示せ。
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【解答】
(１)
a+b=cのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3-c^3+3abc\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a+b-c \right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca \right)\end{align*}}$ ･･････(*)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3+3abc=c^3\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
(*)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)=\frac{1}{2}\left(a+b-c \right)\bigg\{\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ca+a^2 \right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(a+b-c \right)\bigg\{\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a \right)^2\bigg\}\end{align*}}$
と変形できる。
a+b≧cのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\geqq \frac{1}{2}\bigg\{\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a \right)^2\bigg\}\geqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3+3abc\geqq c^3\end{align*}}$
が成り立つ。
等号成立は、
a+b=c または a=b=-c
のときである。
公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\end{align*}}$
を知らないと厳しいでしょうね。
(２)の変形までセットで使えるようにしておきましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/28(日) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2009
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